Введение в математический анализ 5 страница

Она позволяет не вычислять отдельно производные обратных функций, если производные прямых функций известны.

7. Выпуклые функции

Мы будем рассматривать функции, заданные на промежутках числовой оси. Пусть - такой промежуток.

Определение 7.1. Функция называется выпуклой на множестве , если для любого и для любых точек имеет место неравенство

.

Эквивалентное определение: выпуклая, если для любых и любых , таких, что выполняется неравенство

.

Функция называется строго выпуклой, если для всех выполняется строгое неравенство. Функция называется вогнутой, если неравенство выполняется с противоположным знаком.

Понятно, что если - выпуклая, то - вогнутая (и наоборот).

Геометрически функция является выпуклой, если хорда, соединяющая любые две точки её графика, лежит выше самого графика. Будем считать в дальнейшем .

Полагая , получим

Последнее неравенство эквивалентно такому

,

в чём легко убедиться, освободившись от знаменателей. Это неравенство назовём основным.

Геометрически основное неравенство показывает, что при тангенс угла наклона хорды слева (от к всегда не превосходит тангенса угла наклона хорды справа (от к ); иными словами, тангенс угла наклона хорды не убывает при движении от точки к точке .

Теорема 7.1. Если - выпуклая функция на промежутке и - внутренняя точка , то (конечные!).

Доказательство. В неравенстве

устремим . Поскольку левая часть не убывает и ограничена, у неё есть предел, который по определению совпадает с . Аналогично, устремив в том же неравенстве, получим, что .

Теорема доказана.

Следствие 7.1. Выпуклая функция непрерывна в любой внутренней точке области определения.

Действительно, из существования правой и левой производных следует, что и при .

Теорема 7.2. Для того, чтобы дифференцируемая функция была выпуклой на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы её первая производная не убывала.

Доказательство. Если функция выпуклая, то устремляя в основном неравенстве сначала к , а потом к , получим .

Наоборот, если выполнено неравенство , пусть .Если на всём производная равна константе, то основное неравенство выполняется. Если производные не равны, то,по теореме Лагранжа, имеем

, где . По предположению, , и мы получили основное неравенство. Теорема доказана.

Теорема 7.3. Для того, чтобы функция была строго выпуклой на промежутке, достаточно, чтобы её производная строго возрастала.

Для доказательства следует только обратить внимание на то, что в предыдущем доказательстве, в условиях теоремы 7.2, всегда будет .

Теорема 7.4. Для того, чтобы дважды дифференцируемая на промежутке функция была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы её вторая производная была неотрицательной.

Очевидно, так как условие означает, что производная первая не убывает.

Теорема 7.5. Для того, чтобы дважды дифференцируемая функция была строго выпуклой, достаточно, чтобы её вторая производная была положительной.

В этом случае первая производная строго возрастает.

Теорема 7.6. Для того, чтобы функция была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы в любой точке её график лежал не ниже касательной.

Доказательство. Если функция в точке лежит выше касательной, то имеет место неравенство

.Если , оно означает, что , если , неравенство будет в обратную сторону. То есть, для любых будет

- основное неравенство. Значит, функция выпуклая.

Наоборот, если функция выпуклая, то для любых выполняется неравенство

, которое эквивалентно утверждению, что функция лежит выше касательной. Теорема доказана.

8. Дополнительные сведения о свойствах дифференцируемых функций

Теорема 8.1. (Дарбу). Пусть . Если , то , для которой .

Доказательство. Положим . Тогда . Пусть, для определённости, . Тогда правее точки убывает, левее точки - возрастает. Значит, минимум функции достигается внутри интервала в некоторой точке . Очевидно, функция дифференцируема в точке и некоторой её окрестности. Следовательно, и теорема доказана.

Таким образом, для производных верен аналог теоремы Коши для непрерывных функций.

Рассмотрим теперь вопрос о непрерывности прозводной.

Из теоремы Лагранжа следует, что если . Пусть при этих предположениях . Тогда

. Пусть .Тогда .Выражение слева будет стремиться к , и предел правого выражения тоже будет равен . Предел может при этом существовать, в этом случае производная будет непрерывна в точке .Но он может и не существовать, как показывает пример функции .Таким образом, верна

Теорема 8.2. (о разрывах производных). Если функция , то в любой точке этого интервала её производная либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода (в разных точках по-разному).