Определенный интеграл. Вернемся вновь к задаче определения площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x)

Вернемся вновь к задаче определения площади криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), , прямыми x = a, x = b и отрезком оси OX.

Разобьем отрезок [ a, b ] точками на n равных частей (рис. 25). Получим n “малых” отрезков ; длина каждого отрезка обозначается , k=1, 2, …, n; в нашем случае длины всех отрезков одинаковы: .

Рис. 25

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси 0Y, мы разобьем криволинейную трапецию ABCD на n малых криволинейных трапеций – полосок с площадью (k=1, 2,…,n). Очевидно, площадь всей криволинейной трапеции ABCD

.

Эту последнюю сумму записывают так: , где греческая буква ∑ – это знак суммы, а символ означает, что суммируются n слагаемых при изменении индекса k от 1 до n.

Заменим теперь площадь малой криволинейной фигуры MLPQ (рис. 26) площадью прямоугольника MLPQ, равной . Искомая площадь S криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

.

Рис. 26

Очевидно, чем меньше длина промежутков ,тем точнее ступенчатая фигура приближает нашу криволинейную трапецию.

Будем теперь увеличивать вдвое число n точек деления, уменьшая вдвое длину интервалов разбиения.

Получим последовательность сумм

, (*)

где – площадь ступенчатой фигуры из n прямоугольников. Естественно за точное значение площади S криволинейной трапеции принять предел последовательности площадей ступенчатых фигур, когда (при этом все длины стремятся к нулю, ).

Сумма вида (*) называется интегральной суммой, а предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм при , если такой предел существует, называется определенным интегралом функции f (x) на отрезке [ a, b ] и обозначается символом (читается – интеграл от a до b функции f (x)).

Итак,

.

Замечание. Мы рассмотрели здесь только частный случай последовательности интегральных сумм: разбиение отрезка [ a, b ] сделано так, что все (k=1, 2,…,n) равны между собой, , точки являются правыми концами промежутка , а функция f (x) – непрерывна и неотрицательна. Вообще говоря, рассматриваются интегральные суммы более общего вида, а именно:

1) точки деления выбираются произвольно, не обязательно на равном расстоянии друг от друга;

2) на каждом отрезке длины выбирается произвольная точка ;

3) сумму называют интегральной суммой (Римана) для функции f (x) на отрезке [ a, b ];

4) определенным интегралом называется такое число I, которое удовлетворяет условию: для любого (сколь угодно малого) положительного числа E найдется такое положительное число δ, что при и любом выборе точек выполняется неравенство

.

Фактически определенный интеграл I является пределом интегральных сумм при стремлении к нулю всех отрезков разбиения, если этот предел существует и не зависит от выбора точек деления и выбора точек .

Функции f (x), для которых определенный интеграл существует, называются интегрируемыми (по Риману) на отрезке [ a, b ]. К таким функциям относятся любые непрерывные на [ a, b ] функции, а также кусочно-непрерывные, т.е. имеющие на отрезке интегрирования лишь конечное число точек разрыва первого рода. Очевидно, что интегрируемые на отрезке функции ограничены на этом отрезке.

Возвращаясь к задаче о площади, с которой мы начали, видим, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), где на [ a, b ], численно равна определенному интегралу .

Этот факт выражает геометрический смысл определенного интеграла.