Производная функции. Ее геометрический смысл

Определение. Производной функции y = f (x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Обозначение:

.

Для производной в точке x₀ можно использовать и другие обозначения: .

Поясним понятие производной геометрически. На рис. 13 видно, что , а отрезок , из треугольника получаем , здесь α – угол наклона секущей к оси ОX. При секущая стремится занять положение касательной Т, составляющей угол с осью абсцисс – угол наклона касательной. При этом . Следовательно, , т.е. производная есть тангенс угла наклона касательной, или равен угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке .

Рис. 13

Напомним, что уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k, имеет вид .

Поскольку , то уравнение касательной запишется так: .