Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
2.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .
Решение. Проверим, принадлежит ли точка М поверхности:
следовательно, точка М принадлежит поверхности.
Уравнение касательной плоскости имеет вид:
Найдем значения частных производных в точке М:
и подставим в уравнение касательной плоскости:
или
Уравнение нормали берем в виде:
или или
2.2. Найти градиент и производную функции в точке
Решение. Градиент функции равен:
Найдем частные производные:
и их значения в точке :
.
Тогда градиент в точке А равен:
Производная функции z в направлении вектора вычисляется по формуле:
Найдем направляющий косинус вектора :
тогда
Следовательно,
2.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области D, заданной неравенствами:
Решение.
а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума):
Стационарная точка лежит в замкнутой области, так как:
Найдем вторые частные производные:
и их значения в стационарной точке М (2;2):
Так как , то в точке М функция имеет экстремум, а именно минимум, так как
б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 1)
Рис.1
Рассмотрим контур (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной: Исследуем ее на экстремум:
Из имеем или . И так как
то имеем минимум и
Далее рассмотрим контур или (прямая АВ). Имеем:
или
Найдем и из имеем или .
Так как то при имеем минимум и
На контуре или (прямая ОВ) имеем или Находим производную приравниваем ее к нулю или , отсюда
Так как , то в точке имеем минимум и
Найдем значение функции z в точках О (0;0), А (0;6) и В (4;2):
Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 898 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!