Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если = 0, то , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ¥/¥. Второе правило Лопиталя.

Если = ¥, то , когда последний существует.

3. Неопределенности вида 0× ¥, ¥ - ¥, 1^¥ и 0⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований.

Пример 3.25. Найти предел функции y = при x ® 0.

Решение. Имеем неопределенность вида ¥-¥. Сначала преобразуем ее к неопределенности вида 0/0, для чего достаточно привести дроби к общему знаменателю. К полученному выражению два раза применим правило Лопиталя. Записывая последовательно все промежуточные вычисления, будем иметь:

= = = =
= = .

Пример 3.26. Найти .

Решение. Раскрывая неопределенность вида ¥/¥ по правилу Лопиталя, получаем:

= = =0.

Пример 3.27. Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность вида 1^¥. Обозначим искомый предел через A. A = .

Тогда ln A = = = = 2, Þ A = e².