Следствие. Таким образом, дроби общего вида сводятся к простейшим дробям

Таким образом, дроби общего вида сводятся к простейшим дробям.

8. Интегрирование тригонометрических выражений.

Для нахождения интегралов вида , где - рациональная функция, используют универсальную тригонометрическую подстановку .

Тогда

.

То есть подынтегральная функция приобретает вид:

Например, возьмем интеграл . Для этого введем новую переменную . Тогда, как было показано выше и . Подставим эти значения в искомый интеграл:

Пример 6. Взять интеграл .

Введем аналогичную замену переменных:

Частные случаи.

1. Интегралы вида

.

При этом делаем замену . Тогда

2. Интегралы вида ,

где и натуральные числа.

Данные интегралы находятся с помощью тригонометрических формул , , , если и – четные.

Если хотя бы одно из чисел и - нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная:

При этом, если интеграл имеет вид ,

то замена переменных: .

Если интеграл имеет вид

то замена переменных: .

Пример 7. Взять интеграл . Замена переменных . Тогда

.

Наш интеграл примет вид:

Пример 8. Взять интеграл .

Преобразуем подынтегральное выражение:

Косинус внесем под знак дифференциала, подынтегральную функцию преобразуем к следующему виду:

Возведем в куб подынтегральную функцию:

Сделаем замену переменных и проинтегрируем:

Вернемся к старой переменной:

Пример 9. Взять интеграл .

Преобразуем подынтегральное выражение:

Возведем в куб:

Используем правило: интеграл от суммы равен сумме интегралов.

Сделаем преобразования под интегралами.

Возьмем уже "готовые" интегралы, а остальные преобразуем дальше

Сделаем дальнейшие преобразования

Взяв все интегралы, получим:

Перегруппировывая, получим:

Пример 10. Взять интеграл .

Преобразуем подынтегральное выражение

В первом интеграле учтем, что

Во втором интеграле учтем, что

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

Учтем еще раз, что

Интеграл от суммы равен сумме интегралов

Далее

Окончательно

.

Используя известное тригонометрическое тождество

можно упростить взятие некоторых интегралов.

Например: