Непрерывность дифференцируемой функции

Предположим, что функция f(x) производную f’(x₀).

Докажем, что функция f(x) непрерывна в точке х₀

Док-во:

Итак, дифференцируемость функции в точке влечёт её непрерывность в этой точке. Другими словами, непрерывность является необходимым условием дифференцируемости. Обратное же утверждение (непрерывность есть достаточное условие) не всегда верно.

Достаточно рассмотреть .

Эта функция, очевидно, непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к.

Не дифференцируемость функции в точке геометрически означает отсутствие касательной к графику функции в соответствующей точке.

Локальные формулы Тейлора.

Локальная формула Тейлора-Маклорена позволяет эффективно исследовать поведение функции в окрестности данной точки, в частности вычисляя

запишем ее для элементарной функций + (асимптотическое разложение).

I.

II.

III.

IV.