Замена переменных в определенном интеграле

TЕОР: пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и пусть выполнены следующие условия:

1) функцию х=j(t) дифференцируема на [a,b] и j’(t) непрерывна на [a,b]

2) множеством значений функции х=j(t) является отрезок [a,b]

3) j(a)=a и j(b)=b, то справедлива формула

Док-во: По формуле Ньютона - Лейбница: , где F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x) на [a,b]. С другой стороны, рассмотрим сложную функцию Ф(t)=F(j(t)) Согласно правилу дифференцирования сложной функции находим: Ф’(t)=F’(j(t))*j’(t)=f(j(t))j’(t). Отсюда следует, что функция Ф(t) является первообразной для функции f(j(t))j’(t), непрерывной на [a,b] и поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница получаем, =Ф(b)-Ф(a)=F(j(b))-F(j(a))=F(b)-F(a)=

Это формулы замены переменной или подстановки в определенном интеграле.