Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема (Основная)
Ограниченная функция f интегрируема на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда .
Доказательство:
По теореме об интегрируемости (f интегрируема Û ) функция интегрируема тогда и только тогда, когда (1). Надо доказать, что если . Т.е. если найдется одно R*, удовлетворяющее неравенству (1), то оно (неравенство) будет выполняться для всех R. Возьмем произвольное . Нужно найти δ, такое чтобы выполнялось неравенство . По условию теоремы . Рассмотрим наше разбиение R* и произвольное R, как показано на рисунке. Составим разность верхней и нижней сумм Дарбý для нового разбиения R: . Нужно сделать его меньше . Из условия имеем . Обозначим через Σ первую сумму и разобъем ее: Σ=Σ1+Σ2. Σ1 – такие слагаемые, что элемент нового разбиения R содержит в себе хотя бы одну точку границы старого раазбиения R*. Все остальное войдет в Σ2. Рассмотрим отдельно Σ1 и Σ2:
Σ1: т.к. функция f – ограничена (k - константа). Тогда (M и m – максимум и минимум на [a,b]). Получим Σ1 , где λR<δ, а количество красных отрезков не превосходит 2n. Для того чтобы это неравенство выполнялось, достаточно взять δ< /8kn. Т.е. при δ< /8kn Σ1 < /2.
Σ2: разобъем Σ2 на повторные суммы, т.е. Σ2=Σ(Σ i). Σ i≤ ≤ (Mi*-mi*) ΣΔ xi*, где Mj и mj – максимум и минимум на j -том участке. Σ i – группировка тех новых j -тых участков, которые попали в один и тот же старый. Получим Σ2 ÞΣ1+Σ2 <ε, т.е. Σ < . В итоге:
. Теорема доказана.
Следствие 1: Функция f – интегрируема на [a,b], если с : (если существует такая последовательность разбиений с мелкостью, стремящейся к нулю, что модуль разности последовательности интегральных сумм и интеграла стремится к нулю).
Следствие 2: Функция f – интегрируема на [a,b], если (если верхний интеграл равен нижнему).
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 454 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!