Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение: Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) в точке xo, если найдется такая окрестность U(xo), что для всех точек из этой окрестности U(xo) график функции f(x) лежит не выше (не ниже) касательной, проведенной в точке xo.
Замечание: Говорить о выпуклости в точке можно только если функция дифференцируема в этой точке.
Контрольный пример: . 0 - ни точка выпуклости вверх, ни точка выпуклости вниз, ни точка перегиба, потому что в любой окрестности U(0) есть точки в которых функция выпукла вверх и вниз.
Теорема: (Достаточное условие выпуклости вверх (вниз)).
Если функция f в точке xo имеет непрерывную вторую производную , и при этом <0 (>0), то f выпукла в вверх (вниз) в точке xo.
Доказательство:
Т.к. функция f имеет непрерывную вторую производную , то эта производная определена в некоторой окрестности . Разложим функцию f по формуле Тéйлора с остаточным членом в форме Пеано:
.
Причем функция является графиком касательной к функции f в точке . Поэтому если >0, то f(x)< (x) в окрестности (т.к. ε(x)→0, при x→0), а если >0, то f(x)> (x) в .
Билет 21
Точка перегиба. Достаточные условия. Общая теорема о точках перегиба и экстремума.
Определение.
Точка называется точкой перегиба, если в этой точке график переходит через сторону касательной (разные выпуклости слева и справа).
Замечание.
Точка перегиба существует только если . Пример
Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
Если функция имеет непрерывной в точке , =0 и , то точка перегиба.
Доказательство:
В этом случае: , (формула Тейлора), или .
В силу непрерывности в и того факта, что сохраняет знак в некоторой окрестности точки . С другой стороны, множитель меняет знак при переходе через , а вместе с ним и величина (равная превышению точки кривой над касательной в ) меняет знак при переходе через .
Теорема доказана.
Теорема 2 (Общая теорема о точках перегиба и экстремума.)
Пусть функция обладает следующими свойствами:
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 290 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!