Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Определение: Пусть на интервале (a,b) задана непрерывная строго монотонная, т.е. строго возрастающая или строго убывающая, функция . Пусть образ (a,b) есть интервал (A,B). тогда обратная к функция есть однозначная непрерывная и строго монотонная на (A,B) функция.
Зафиксируем и дадим ему приращение Тогда получит соответствующее приращение
Наоборот,
Вследствие непрерывности прямой и обратной функций для указанных имеет место утверждение: из следует , и обратно.
Пусть теперь функция в точке у имеет неравную нулю производную . Покажем, что в таком случае функция также имеет в соответствующей точке х производную. В самом деле,
Так как из того, что следует, что , то
Этим доказано, что если есть строго монотонная непрерывная функция и обратная к ней функция, имеющая в точке у производную , то функция имеет в соответствующей точке х производную, определяемую формулой (1).
Может случится, что в точке В этом случае, очевидно, функция имеет в соответствующей точке х производную .
Если же , то для строго возрастающей функции при этом , а для строго убывающей . В первом случае , а во втором .
Пример 1.
Если логарифм натуральный, то
.
Функция ln x как действительная функция определена только для положительных значений х.
Пример 2.
где
Пример 3.
Пример 4.
Функция строго возрастает на отрезке [-1,1] и отображает этот отрезок на Обратная к ней функция имеет производную положительную на интервале . Поэтому
Пример 5.
Пример 6.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 321 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!