Глава III. Интерполирование и приближение

ФУНКЦИЙ................................. 38

§1. Интерполирование функций.................... 38

1. Интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона..... 38

2. Погрешность интерполирования..................... 42

3. Интерполяционный полином Эрмита................. 43

4. Интерполирование сплайнами...................... 45

§2. Наилучшее приближение в линейном нормированном

пространстве.................................. 49

1. Общие сведения.................................. 49

2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве 52

2.a. Тригонометрический ряд Фурье................... 53

2.b. Метод наименьших квадратов.................... 54

2.c. Решение систем линейных алгебраических уравнений с

прямоугольной матрицей........................ 55

3. Наилучшее равномерное приближение............. 56

Упражнения для самостоятельного решения........... 59

Глава IV. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

И ИНТЕГРИРОВАНИЕ................... 60

§1. Численное дифференцирование.................. 60

1. Использование интерполяционных формул.......... 60

2. Метод неопределенных коэффициентов............ 62

3. Некорректность операции численного дифференцирования 64

§2. Численное интегрирование...................... 65

1. Формула прямоугольников....................... 66

2. Формула трапеций.............................. 67

3. Формула Симпсона.............................. 67

4. Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона 68

5. Квадратурные формулы Гаусса.................... 70

Упражнения для самостоятельного решения.......... 73

Глава V. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ..... 74

§1. Методы Рунге-Кутты. Таблицы Бутчера.......... 75

1. Методы Рунге-Кутты второго порядка аппроксимации... 77

2. Одноэтапные методы............................... 78

3. Явные двухэтапные методы.......................... 79

§2. Многошаговые разностные методы............... 80

1. Погрешность аппроксимации многошаговых методов.... 80

2. Методы Адамса................................... 81

3. Методы Гира..................................... 82

4. Устойчивость многошаговых методов................ 83

Упражнения для самостоятельного решения............. 87

Глава VI. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ................................... 88

§1. Основные понятия теории разностных схем ……… 88

§2. Разностные аппроксимации краевой задачи для

обыкновенного дифференциального уравнения

второго порядка................................ 90

§3. Методы Ритца, Галеркина, конечных элементов 92

1. Методы Ритца и Галеркина........................ 94

2. Понятие о методе конечных элементов.............. 95

§4. Разностные аппроксимации простейшего уравнения

теплопроводности............................... 99

1. Разностные схемы................................ 99

2. Погрешность аппроксимации....................... 101

3. Устойчивость разностных схем в норме С............. 102

4. Устойчивость разностных схем в норме (метод гармоник) 103

Упражнения для самостоятельного решения............ 105

Литература..................................... 106

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие написано на основе курса лекций, читаемых автором в течение ряда лет на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ для студентов отделения бакалавров, обучающихся по направлению “Прикладная математика и информатика”.

Программой курса предусмотрено изучение в соответствующем объеме практически всех основных разделов численных методов: численные методы алгебры, численное интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений. К сожалению, теоретический материал, соответствующий программе курса содержится в различных учебниках и монографиях по численным методам. Поэтому основным мотивом для написания пособия явилось желание собрать в одном издании компактное изложение необходимых фактов. Автор стремился сделать подачу материала в наиболее простой и доступной форме, используя минимум сведений из математического анализа, линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений. Каждый раздел снабжен упражнениями, которые способствуют лучшему усвоению материала.

В процессе разработки программы курса и подготовки рукописи большую помощь оказали полезные обсуждения с коллегами по работе на кафедре вычислительных методов факультета ВМиК, в особенности с профессорами В. Б. Андреевым, А. В. Гулиным, Г. Г. Елениным, А. П. Фаворским. Выражаю им искреннюю признательность.