Однофакторный дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ. Статистический модуль ANOVA/MANOVA

Лабораторная работа № 5

Дисперсионный анализ. Статистический модуль ANOVA/MANOVA.

Общие положения

Дисперсионный анализ предназначен для выявления степени влияния контролируемых факторов на отклик. Например, влияние технологии изготовления прибора на его долговечность, влияние типа плазменного источника на качество покрытия и т.д.. При этом фактор может быть количественным или качественным.

Пусть отклик у зависит от n независимых контролируемых факторов x _i (где i=1,…,n) и их парных взаимодействий. Факторы x _i могут не иметь количественного описания. Каждый фактор x _i варьируется на u_i уровнях. Т.е. полный факторный план включает серий независимых наблюдений. Каждая j-ая серия независимых наблюдений содержит m _j (j=1…N) наблюдений параллельных опытов:

Требуется определить, в какой мере на фоне случайных погрешностей влияние того или иного фактора x _i или взаимодействия факторов на отклик у и провести сравнение факторов друг с другом с целью выделить наиболее существенные из них.

Для оценки сравнительного влияния каждого фактора на отклик необходимо установить количественный показатель этого влиянии.

Основное предположение метода в том, что общая ошибка измерения некоторого параметра Y складывается из случайной ошибки () и влияния контролируемого фактора Х, значения которого задаются на m уровнях ().

В качестве показателя влияния фактора принимают величину называемую дисперсией фактора.

Тогда если Х варьируется на m уровнях и случайная ошибка измерения равна нулю (), то в результате измерения отклика у получаем m истинных значений y₁,…, y_m (т.е. на каждом уровне вместо серии данных имеем только одно значение y_j, j=1,…, m).

Если в качестве дисперсии фактора выбрать величину равную:

,

где , то не связана с действием случайной величины, а определяется только влиянием фактора Х на отклик Y. Это позволяет сравнивать степени влияния случайных и неслучайных факторов на измеряемую величину.

Однофакторный дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ изучает влияние, которое оказываетколичественный фактор на количественный результат некоторого процесса (отклик). Например, влияние технологии изготовления заготовки на её стоимость, влияние способа обработки земли на урожайность и т.д.

В процессе эксперимента фактор Х поддерживают на n уровнях.

На каждом i уровне варьирования фактора проводят m_i дублирующих экспериментов.

Значение m_i может быть одинаковым на уровнях или отличаться от уровня к уровню.

Представим полученные результаты в виде таблицы результатов измерений.

Таблица 1

№	Уровень фактора	Результаты измерений	Число дублирующих опытов
	Х1		m1
	Х2		m2
…	…	…	…
i	Хi		mi
…	…	…	…
n	Хn		mn

Рассеяние результатов измерения в одной строке определяется случайными погрешностями.

Рассеяние между строками – дополнительным действием изучаемого фактора.