Исследование функций одной переменной с помощью аппарата дифференциального исчисления

1. Необходимое условие экстремума. Говорят, что функция f(x) имеет в точке экстремум (максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство

.

В точке экстремума производная , если она существует.

2. Достаточные условия экстремума. Первое правило. Если 1) функция f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки такой, что или не существует (критическая точка); 2) f(x) имеет конечную производную в области ; 3) производная сохраняет определённый знак слева от и справа то , то поведение функции f(x) характеризуется следующей таблицей:

	Знак производной	Вывод
I II III IV	+ + - -	+ - + -	экстремума нет максимум минимум экстремума нет

Второе правило. Если функция f(x) имеет вторую производную и в некоторой точке выполнены условия

,

то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно: максимум, когда , и минимум, когда .

Третье правило. Пусть функция имеет в некотором интервале производные и в точке производную , причём

.

В таком случае: 1) если n – число чётное, то в точке функция имеет экстремум, а именно: максимум при и минимум при ; 2) если n – число нечётное, то в точке функция экстремума не имеет.

3. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наименьшее) значение на сегменте непрерывной функции достигается или в критической точке этой функции (т.е. там, где производная или равна нулю или не существует), или в граничных точках a и b данного сегмента.