Решение. Рассмотрим выпуклый 6-угольник

Рассмотрим выпуклый 6-угольник. Возьмем внутри него произвольную точку О и соединим ее с вершинами.Таким образом, мы разобьем этот многоугольник на 6 треугольников. Очевидно, сумма внутренних углов этого шестиугольника будет равна (мы здесь вычли сумму углов с вершиной в точке О). Если взять 8-угольник, то рассуждая аналогично, получим что Легко заметить общую закономерность, что Чтобы убедиться в достоверности вывода воспользуемся мето

Дом

дом математической индукции. При мы будем иметь треугольник, и , что справедливо. Пусть формула верна. Рассмотрим (n+1)-угольник, который разобъем на (n+1) треугольников. Сумма его внутренних углов равна: т.е. формула верна при n+1. Значит, условия 1) и 2) выполнены, и утверждение верно.Заметим,что сделанный вывод верен для любого многоугольника.

Пример 4. Доказать, что для арифметической пргрессии верны формулы ,

Решение. Докажем первую формулу.Очевидно,она верна при n=1.

Пусть формула верна, тогда и она верна при n+1. Выполнены условия метода математической индукции, что позволяет утверждать справедливость формулы для вида общего члена арифметической прогрессии.. Доказательство второй формулы мы оставляем читателю.

Пример 5. Доказать, что для геометрической пргрессии верны формулы ,

Решение. Первую формулу мы предлагаем читателю доказать самостоятельно. Докажем вторую формулу. При имеем и формула верна. Если формула верна, то т.е. формула верна и при n+1. Следовательно, она верна для любого натурального числа n. Полагая в формуле, получим, что

.

Пример 6. Доказать неравенство Бернулли

Решение. 1) Если , то , и неравенство верно.

2) Если неравенство верно для n, то [так как ] Отбрасывая неотрицательное число , получим т.е. неравенство верно также и при n+1.

Пример 7. Доказать, что для

Решение. При и это неравенство не выполнено, но уже при оно верно, ибо

1) Если формула верна для n, то и условие 2) метода математической индукции выполнено.

Пример 8. Используя метод математической индукции, доказать, что для верна формула

Решение. При формула превращается в формулу разности квадратов двух чисел , и, значит, верна. Предположим, что формула верна. Тогда

Следовательно, из того, что формула) верна при вытекает, что она верна и при а из того, что она верна при следует, что она верна при и т.д.. В частности,

,

,

,

Пример 8. Доказать формулу бинома Ньютона [5]

Эту формулу можно записать короче, если ввести обозначения :

Решение. При формула верна, так как так как Она верна и при потому что При получим известную формулу куба суммы двух чисел: (проверьте!) Предположим теперь, следуя методу математической индукции, что формула справедлива с показателем равным n. Докажем, что отсюда вытекает справедливость ее с показателем n+1. Имеем:

так как по предположению формула с показателем n верна. Выделяем из первой суммы член, получаемый при , а из второй суммы – член, соответствующий

потому что (проверьте!),

Значит, формула верна и с показателем равным n+1. Условия математической индукции выполняются. Отсюда заключаем, что формула верна.

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Что называется индукцией?

2. Всегда ли верно заключение, сделанное по индукции? От чего зависит справедливость заключения по индукции?

3. Сформулировать метод математической индукции.

4. Обосновать необходимость выполнения двух условий 1) и 2) в методе математической индукции.

5. В каких случаях применяют метод математической индукции?

6. Вывести формулу разложения для разности

7. Вывести формулу для суммы n первых членов геометрической и арифметической прогрессии.

8. Вывести формулу для общего члена геометрической и арифметической прогрессии.

9. Доказать формулу бинома Ньютона.

10. Доказать, что

11. С помощью формулы бинома Ньютона вывести формулу