Для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<С|х— а |<6г

Обозначим через 6 наименьшее из чисел 6i и 6₂. Тогда для любого х, удовлетворяющего неравенству 0< \х — а| <6, выпол­нены неравенства (1) и (2); для этих х имеем:

\f(x) + g(x)-(A + B)\ = \(f(x)-A) + (g(x)-B)\^\f(x)-A\ +

+ 1 gW-B|<y+Y = e.

Этим доказано, что lim (f (x)-\-g (х)) = А-\-В.

х-*а

Остальные правила (для произведения и частного) доказы­ваются аналогично.

Яркие характеристики глубины переворота в математике, происшедшего в XVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и про­изводных, был охарактеризован Марксом как «мистический».

Лозунгом многих математиков XVII в. был: «Двигайтесь впе­ред, и вера в правильность результатов к вам придет».

Кантор Георг

(1845—1918) — немецкий математик, идеи и работы кото­рого оказали большое влияние на развитие математики в целом, на понимание ее основ. Создатель теории множеств. Получил ряд замечательных результатов, относящихся к теории бесконечных множеств, теории дейст­вительного числа.

3. О понятии действительного числа. Математический анализ возник в XVIII в. Но полное его обоснование было дано лишь в конце XIX столетия, когда вслед за теорией пределов, создан­ной Коши, сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831—1916), К. В е й е р ш т р а с с о м (1815—1897) и Г. Кантором (1845—1918) была построена теория действительного числа.

Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. С давних пор числа употреблялись при счете и измерении величин.

Ответ на вопрос: «Сколько элементов содержит данное конеч­ное множество?» — всегда выражается либо натуральным числом, либо числом нуль. Следовательно, множество

{0; 1; 2;...}

всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе обстоит дело с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комна­ты — 16,45 квадратного метра и т. д.

Величины бывают разных родов. Приведем два примера.

1. Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выра­жают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.

2. Длительности промежутков времени тоже величины одного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах и т. д.

Величины одного и того же рода можно сравнивать между со­бой и складывать:

1 м > 90 см 350 м + 650 м = 1 км

300 с < 1 ч 2 ч+ 3 ч = 5 ч

1 кг>720 г 500 г+ЬООг “=1 кг

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм

(1815—1897) — немецкий математик, доказавший классичес­кие теоремы в различных областях матема­тики. Работы Вейерштрасса по обоснованию математического анализа, по существу, завер­шают создание строгой стройной теории.

Но бессмысленно спрашивать, что больше: 1 метр или 1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длительность про­межутков времени и расстояние — величины разного рода. Скла­дывать и сравнивать величины разного рода нельзя.

Величины можно умножать на положительные числа и нуль. В результате умножения величины а на неотрицательное число х получается величина Ь — ха того же рода. Приведем несколько примеров:

5*20 см = 100 см = 1 м

0, 01*20 см = 0,2 см =2 мм 0*20 см = 0 см

Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, можно с ее помощью измерять любую другую величину а того же рода. В результате измерения получим, что а = хе, где х — число.

Это число х называется числовым значением величины а при единице измерения е. Числовое значение величины зависит от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в 1 м (е— = 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при единице измерения в 1 см (е= 1 см).

Пусть числовые значения величин а и b при одной и той же единице измерения е равны х и у, т. е. а — хе, Ъ—уе. Если ЪФ0_V

то отношение — называют отношением величины а к Ь.

У

Таковы простейшие сведения о величинах. Приведенное опи­сание понятия величины опиралось на понятие числа. Но истори­ческий путь был иным: положительные действительные числа по­явились как отношения величин (а точнее, как отношения длин отрезков).

С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало ясно, что отношение длин отрезков не всегда может быть выражено не только натуральным, но и рацио­нальным числом. Для того чтобы числовое значение каждого от­резка при фиксированной единице измерения было определено, требовалось введение новых чисел — иррациональных.

Все практические измерения величин имеют лишь приближен­ный характер. Их результат с требуемой точностью можно выра­зить при помощи рациональных дробей или более специальным образом — при помощи конечных десятичных дробей. Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до одного сантиметра, мы обнаружим, что ее длина приближенно равна 1,41 м. При измерении с точностью до одного миллиметра получим, что эта длина приближенно равна 1,414 м.

Но в математике часто отвлекаются от приближенного харак­тера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такие

дроби представляют числа -|-= 0,666..., д/2 = 1,41421356..., я =

= 3,14159265....)

Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда может быть выражено числом, представляемым в виде бесконечной десятичной дроби.

Полная теория действительных чисел довольно сложна и не входит в программу средней школы. Но с одним из способов ее построения мы познакомимся в общих чертах.

1. Принимают:

а) каждому действительному числу соответствует (в качест­ве его записи) бесконечная десятичная дробь:

х — ао,ща₂аз а_п ...;

б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь закан­чивающуюся бесконечной последовательностью девяток, лишь второй записью числа, выражающегося десятичной дробью, за­канчивающейся бесконечной последовательностью нулей:

0, 9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000....

Такое соглашение поясним примером:

0, (9) = 3-0,(3) = 3 •{-=!.

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девят­кой в периоде, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей.

Число а₀ — это целая часть положительного числа х, а х—00=0,010203... о„... —

дробная часть числа х.

Число х_п = a₀,aiа^... а_п называют десятичным приближени­ем х с точностью до 10~^л по недостатку, а число х'_п=х_п-\- 10^-л на­зывают десятичным приближением с точностью до 10^-л по избыт­ку для числа х = ао ,... а_п ••• •

Если число х отрицательно, т. е.

х=— a₀,aia₂a3... а_п...,

то полагают

х'_п= —ао,а\а2аз ... а_п и

Хп — Хп— 10“".

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число х меньше числа у, если хотя бы при одном п выполнено неравенство х_п < у_п, где х_п и у_п — десятичные прибли­жения с точностью до \0~^п по недостатку для чисел хну. (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятич­ных дробей уже известно.)

3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).

Суммой двух десятичных чисел х и у (обозначается х-\-у) называют такое действительное число z, что при любом п выпол­нены неравенства

Хп +Уп < х +у С х'п + у'п.

В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и определяется единственным образом.

Аналогично произведением двух неотрицательных чисел х и у называют такое число z (обозначается ху), что при любом п выполнены неравенства

хпуп^хусх'п у п.

Такое число существует и определяется однозначно. Для действительных чисел разных знаков, воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел |л:| и \у\ уже определено, полагают ху— — \х\ \у\; в остальных случаях ху=\х\ \у\. (Как обычно, модулем каждого из чисел

а₀, а_{а₂... а_п... и — а₀, a_ta₂... а„... называют число ао, «1^2 ••• Ол ••• •)

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью х — у чисел хи у называется такое число z, что y-\-z — x_t а деление — как действие, обратное умножению: частным х:у на­зывается такое число z, что yz = x.

4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные указанным в п. 3 образом, сохраняют основные свой­ства, присущие им в множестве рациональных чисел.

Вопросы и задачи на повторение

1. 1) Что такое приращение аргумента и приращение функции?

2) В чем состоит геометрический смысл приращений Дх и

Д/? отношения ^-?

' Ах

3) Выразите через х₀ и Ах:

a) f (х) = х² — х\б) f(x) = x ³-f 2; в) f(x) = 3x — 1; г) [ (х)=^.

2. 1) Сформулируйте определение производной функции в точке.

2) Пользуясь определением, найдите производную функции f в точке х₀:

a) f(х) = х²+1, х₀=-2; б) / (*)=~, х₀ = 3; ^в) / (х) — 2х— 1, Хо ——4; г) / (лг) = х³, Хо = 2.

3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции f(x) = xⁿ (п — целое число)?

2) Дифференцируемая функция f задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику / в указанных точках и найдите приближенные значения производной в точках

а, Ь, с, d.

3) Продифференцируйте функцию:

а) / (*) = (*+ 2) sin*; б) f (х) = -~^₇~:_К;

в) f(x)=x³ — ~+cos3x; г) f(x)=^.

4. 1) Какую функцию называют непрерывной на промежутке?

2) Найдите промежутки непрерывности функции:

У'

**

S

/

Ч

V

/

>

/

V

>

у

_6_

0.

Л

(1

i

х.

г

a) l(x)=- 6) f(*)=l- 2 tg*;

^B) f W⁼_x!_3^_io ^; Г) f(x)=x* — 3x² + 7.

3) Решите неравенство методом интервалов: а) -4тН—5-г>1; б) х⁴-15*²-16<0;

’ jt + 4 ' х+1

^в) ^г) —!)(-*■ — 2)(лг + 4)>О-

5. 1) Какую прямую называют касательной к графику функции / в точке (х₀; f (*о))?

2) В чем состоит геометрический смысл производной?

3) Напишите уравнение касательной к графику функции / в точке (х₀; f (лг₀)):

a) f (^х) = cosx, х₀=у-; б) f(x) = ~, х₀ = 2;

в> f(x) = smx, *₀ = л; г> f(x) — x'²_t х₀= —

6. 1) Запишите общую формулу для приближенного вычисле­ния значения функции, дифференцируемой в точке лго-

2) Выпишите формулы для приближенного вычисления зна­чений функции:

a) f(x)=xⁿ\ б) f(x) = cosx; в) f (х)=^[х\ г) =

3) Вычислите приближенные значения:

а) щрг; б) sin 59°; в) г) 0,999¹⁵.

7. 1) В чем состоит механический смысл производной?

2) Тело движется по прямой согласно закону х (/). Запи­шите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.

3) Найдите скорость и ускорение точки в момент /₀, если:

a) x(t)=t³ — 2/²-f-5, /о = 4; б) х (t) = 3 cos 2t, в) x(t) = 5t — t², fo = 2; г) л: (/) = 2^² -f- / — 4, to = 4.

8. 1) Запишите формулу Лагранжа.

2) Сформулируйте признак возрастания (признак убы­вания) функции.

3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию: ®) 9^; */=³*—^{sin 3}*‘>

в) у = х^А — 4х; г) у = х²+^-.

9. 1) Какую точку называют критической точкой функции?

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) У=\—х⁴; б) у = 2 sin x-f-cos 2х;

в) у — х³ — Зх; г) у = х — tg х.

10. 1) Опишите схему исследования функции.

2) Исследуйте с помощью производной функцию:

a) f М=х+Т~^^{: б)} fW=f+T^;

в) f (х) = х³ — Зх² — 9х\ г) f(x) = ~^.

3) Исследуйте по общей схеме функцию / и постройте ее график:

a) /(*) = *²—1-_; б) f (х) = х²(х — 2)²;

^в) f (х) = 2х²-\-Зх— 1; г) f (х) = А—{-х² — Зх+1.

11. 1) Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наи­меньшего значений функции на отрезке.

2) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке:

а) / (х) — 0,8х^б — 4х³, [— 1; 2]; б) /(*)=* — sin 2лг, [о; —-J;

в) f(x) = 3x²-2x\ [— 1; 4]; г) / (х) = х² (6-х), [—1; 5].

3) а) Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

б) Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Пло­щадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ

§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ

26. Определение первообразной

Вспомним пример из механики. Если в начальный момент вре­мени t — 0 скорость тела равна 0, т. е. v (0) = 0, то при свободном падении тело к моменту времени t пройдет путь

*(0=?. ⁽¹⁾

Формула (1) была найдена Галилеем экспериментально. Дифференцированием находим скорость:

5' (/) = Ц (/) = £/. (2)

Второе дифференцирование дает ускорение:

v' (t)=a(t)=g, (3)

т. е. ускорение постоянно.

Более типично для механики иное положение: известно уско­рение точки а (t) (в нашем случае оно постоянно), требуется найти закон изменения скорости v (t), а также найти координату s (t). Иными словами, по заданной производной v' (/), равной а (/), надо найти v (t), а затем по производной s' (t), равной v (t), найти s (t).

Для решения таких задач служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. С ней мы познакомимся в этой главе.