Применение дифференциала функции одной переменной для приближенных вычислений. Дифференциалы высших порядков

1) Δy ≈ y’ Δx = dy – дифференциал функции.

y(x₀ + Δx) – y(x₀) = y’Δx

y(x₀ + x) = y(x₀) = y(x₀) + y’(x₀) (1)

По формуле (1), зная значение , y(x₀), y’(x₀) можно определить y(x₀ + Δx).

2) Рассмотрим функцию . Дифференциал этой функции зависит от и , причем не зависит от , так как приращение в данной точке можно выбирать независимо от . В этом случае в формуле первого дифференциала будет постоянным. Тогда выражение зависит только от и его можно дифференцировать по .

Дифференциал от дифференциала функции в данной точке называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом.

Аналогично: .

Найдем формулу для вычисления второго дифференциала

т.е.

Аналогично получаем

Можно установить справедливость формулы

Отсюда получаем

В частности, при n=1,2,3...

При этом предполагалось. что - независимая переменная.

Пусть теперь . Тогда .

Поэтому при вычислении будем считать его как дифференциал от произведения двух функций

Итак,

Для дифференциала третьего порядка имеет место формула

Из полученных формул следует, что при вычислении дифференциалов более высоких порядков от сложной функции происходит нарушение инвариантности формы.