Теорема Лагранжа (формула конечных приращений)

Конечных приращений формула Лагранжа выражает связь между приращением любой непрерывной на отрезке [ a; b ] и дифференцируемой на интервале (а; b) функции y = f (x) и значением ее производной:

где с – некоторое число из интервала (а; b): a < c < b.

Геометрический смысл формулы Лагранжа таков: на дуге графика данной функции, соединяющей точки (а; f (a)) и (b; f (b)), найдется точка (с; f (c)) (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги, – см. рис.

Часто формулу Лагранжа записывают в другой, эквивалентной форме:

где Θ – неизвестное число, зависящее, вообще говоря, от х ₀ и от Δ х и удовлетворяющее неравенствам 0< Θ < 1.

Формула Лагранжа для функции многих переменных выглядит так:

где 0< Θ < 1.

С помощью формулы Лагранжа можно доказать следующее ее обобщение – теорему Коши о среднем значении: если функции f и g непрерывны на отрезке [ a; b ] и дифференцируемы на интервале (а; b), причем g’ (x) ≠ 0 на (а; b), то на интервале (а; b) существует такая точка с, что