Комбинаторика 1 страница

Содержание

Предисловие

Глава 3. Введение в анализ

§3.1 Комбинаторика и бином Ньютона

§3.2 Комплексные числа

Глава 4. Индивидуальные домашние задания

§4.1 ИДЗ «Предел функции и непрерывность»

§4.2 ИДЗ «Производные»

Глава 5. Семинары

§5.1 Применение производной при исследовании функции

§ 5.2 Неопределенный интеграл

Ответы

Литература

Предисловие

Вторая часть сборника задач по курсу «Высшая математика» содержит введение в математический анализ (Глава 3) и индивидуальные домашние задания по теме: «Предел функции и непрерывность» и по теме: «Производная»

Глава 3 содержит следующие темы: комбинаторика, бином Ньютона, математическая индукция и комплексные числа. Приведены основные формулы и методы решения задач.

Глава 4 содержит индивидуальные домашние задания по основным темам курса математического анализа, изучаемым в первом семестре

Глава 5 посвящена семинарским занятиям. Приводится перечень основных вопросов, рассматриваемых на семинаре, задачи, которые необходимо решать на семинаре и задачи для самостоятельной работы.

К задачам главы 3 и к задачам ИДЗ «Предел функции» приведены ответы. Для наиболее сложных задач приводятся решения.

Глава 3. Введение в анализ

§3.1 Комбинаторика и бином Ньютона

Комбинаторика

1. Число перестановок из n элементов равно произведению n последовательных натуральных чисел от 1 до n.

Число перестановок обозначается так:

или n! (эн-факториал) и вычисляется по формуле:

n! = . (1.1)

2. Число размещений (без повторений) из n элементов по к

равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых равно n:

, (1.2)

или . (1.3)

3. Число сочетаний из n элементов по к () определяется по формуле:

(1.4)

или (1.5)

Из формулы (1.5) следует . (1.6)

4. Размещения с повторениями

Пусть из множества Х, состоящего из n элементов, надо составить строку из к элементов, причем каждый элемент в строке может быть любым элементом из х, т.е. в строке элементы могут повторяться.

Общее число всех таких строк есть число размещений из n по k с повторениями: А(n, k) = n^k. (1.7)

В рассмотренном случае каждый элемент строки может принимать n значений. Если в строке элемент может принимать значений, элемент может принимать значений, то количество всех таких строк определяют по формуле:

. (1.8)

5. Размещения данного состава

Размещением данного состава из элементов

множества называется всякая строка длиной , составленная из элементов множества X так, что элемент повторяется раз, элемент повторяется раз,..., элемент повторяется раз.

Например, если то есть

один из вариантов состава

Число различных размещений состава определяется по формуле:

. (1.9)

2. Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет любой двучлен (бином) возвести в натуральную степень. Эта формула имеет вид:

(1.10)

или сокращенно

В разложении бинома n + 1 членов. Так как , то

коэффициенты членов разложения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой. При получаем формулу для суммы биномиальных коэффициентов:

(1.11)

Обобщением формулы бинома Ньютона является

полиномиальная формула:

(1.12)

где и суммирование ведется по всем наборам .

В частности:

Итак,

. (1.13)

3. Формула разложения разности n-ых степеней

(1.14)

4. Метод математической индукции

Для вывода обобщающих формул, как правило, используют метод математической индукции.

Схема-алгоритм метода математической индукции:

1. Проверить справедливость доказываемой формулы для начального значения n (это может быть 0, 1, 2,...).

2. Предположить, что формула справедлива при

3. Доказать, что формула справедлива и при

5. Формула Тейлора

Формула Тейлора позволяет данную функцию y = f (x) представить в виде многочлена со счетным числом слагаемых по степеням x:

(1.15)

Формулы Тейлора для некоторых функций.

Следует помнить, что применять формулы (1.15), (1.16) или 1-6 можно для функции только в случае, если при .

Упражнения к § 3.1

Комбинаторика

3.1 Вычислить:

3.2 Решить уравнения и неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

3.3 Доказать:

1) ,

2)

3) 4)

3.4 Сколько пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно составить из пяти цифр:0,1,2,3,4?

3.5 Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр1,2,3,4,5, если цифры в числе:

а) могут повторяться, б) не повторяются?

3.6 В ящике имеется 7 красных и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать из ящика 3 красных и 2 черных шара?

3.7 В вазе 10 красных и 6 белых гвоздик. Сколькими способами можно составить букет из 4-х гвоздик так, чтобы число красных гвоздик в букете было не меньше белых?

3.8 Из 10 различных цветков составляется букет, содержащий не менее трех цветков. Сколькими способами это можно сделать?

3.9 В 12-ти этажном доме на первом этаже в лифт садится 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они это могут сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?

Бином Ньютона

3.10 Разложить по формуле бинома Ньютона:

а) б) , в) , г) .

3.11 Решить уравнения:

1) , 2) ,

3) , 4)

Разложение двучлена на множители

3.12. 1) Сократить дробь и вычислить при х=1,

2) сократить дробь и вычислить при a=b.

Метод математической индукции

3.13 Доказать тождества:

,

,

,

,

3.14 Доказать неравенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3.15 Доказать делимость:

1)

2)

3)

3.16 Известно, что целое число. Доказать, что

также целое число.

3.17 Доказать, что выражение , где простое число, делится на р (малая теорема Ферма).

Формула Тейлора

3.18 Разложить по степеням х по формуле Тейлора функции:

1) 2) .

3.19 Вычислить приближенно:

1) с точностью 0,0001,

2) с точностью 0,001, 3) с точностью 0,001.

§ 3.2 Комплексные числа

Введем новое недействительное число, квадрат которого равен –1. Это число обозначим символом ί и назовем мнимой единицей. Итак,

(2.1)
Тогда . (2.2)

1. Алгебраическая форма комплексного числа

Если , то число (2.3)

называется комплексным числом, заданным в алгебраической форме. Это число имеет действительную часть

и мнимую часть Так что ;

- число, сопряженное .

Действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются как над многочленами.

Произведение двух сопряженных чисел есть действительное число

(2.4)

Следовательно, сумму квадратов двух действительных чисел можно разложить на комплексные множители

(2.5)

Деление чисел выполняется по формуле

(2.6)

Условия равенства двух комплексных чисел

(2.7)

2. Геометрическое представление, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Прямоугольную систему координат можно использовать для геометрического представления комплексного числа.

Каждому комплексному числу можно поставить в соответствие точку или вектор (рис.1).

Рис.1

В этом случае плоскость х0у называется комплексной плоскостью (z), ось 0х называется действительной осью, ось 0у называется мнимой осью. Расстояние ОА или длина вектора называется модулем комплексного числа Угол называется аргументом комплексного числа Очевидно, каждому комплексному числу соответствует бесконечное множество аргументов.

Главное значение аргумента

Общее значение аргумента

Так как и ,

то (2.9)

Это тригонометрическая форма комплексного числа. Чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме (2.3), представить в тригонометрической форме (2.9), следует найти:

модуль по формуле (2.10)

аргумент по формулам:

если 1-ой четверти, то ;

если 2-ой четверти, то ;

если 3-ой четверти, то ; (2.11)

если 4-ой четверти, то ,

где вспомогательный острый угол

определяют по формуле

Если то .

Если то . (2.12)

Если то .

Если то .

С помощью формулы Эйлера , (2.13)

можно комплексное число представить в показательной форме

(2.14)

Если в формуле (2.13) заменить на - , то получим

(2.13')

Из (2.13) и (2.13') следуют следующие формулы Эйлера:

(2.15)

3. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Умножение. М одуль произведения равен произведению модулей, аргумент произведения равен сумме аргументов:

(2.16)

Деление. Модуль частного равен частному модулей, аргумент частного равен разности аргументов:

(2.17)

Возведение в целую степень п. Модуль возводится в степень п, аргумент умножается на п.

(2.18)

Извлечение корня степени п. Извлекается арифметический корень из модуля, общее значение аргумента делится на п. Корень имеет ровно п различных значений, если

(2.19)

Формулы (2.18) и (2.19) называются формулами Муавра.

Упражнения к § 3.2

3.20 Выполнить действия

; 5) ; 6) ; 7) ;

9) .

3.21 Представить в виде суммы более простых дробей:

1) ; 2) ; 3) .

3.22 Решить уравнения:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) , 7) , 8) , 9) , 10) , 11) .

3.23 Построить на комплексной плоскости и представить в тригонометрической форме числа:

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) 5, 10) i.

3.24 Представить в показательной форме числа (указать главное значение аргумента):