Оценка достоверности показателей регрессии

Выборочные показатели регрессии являются оценками соответствующих генеральных параметров и, как величины случайные, сопровождаются статистическими ошибками. Ошибку выборочного коэффициента регрессии Y по X определяют по формуле

, ()

а ошибку коэффициента регрессии X по Y – соответственно

. ().

Достоверность выборочного коэффициента регрессии оценивается с помощью t-критерия Стьюдента. Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне значимости α с числом степеней свободы , если .

Если исходные данные сгруппированы в вариационные ряды, а их частоты распределяются по ячейкам корреляционной таблицы, ошибку коэффициентов регрессии определяют с учетом классовых интервалов по следующим формулам:

; ()

Эмпирические уравнения регрессии также сопровождаются ошибками. Последние, обозначаемые символами S_yx и S_xy, могут быть рассчитаны по формулам

;

или и ,

где и – частные средние переменных Y и X; – число степеней свободы.

Значения S_xy и S_yx также называют частными, парциальными или остаточными средними квадратическими отклонениями. Они описывают величину изменчивости отдельных наблюдений по отношению к линии регрессии, т.е. частными средними (или ), составляющим эту линию. Величина S_xy или S_yx позволяет судить насколько можно ошибиться, пытаясь найти значение признака y или x как значение частной средней, полученной по уравнению регрессии.

Случайная вариация отдельных частных средних , принадлежащих линии регрессии, зависит от величины остаточной вариации признака Y, т.е. от S_yx, объема выборки n, по которой оценивали регрессионную связь, и от того, насколько далеко от средней отстоит значение x, для которого по уравнению регрессии была найдена величина . Квадратическая ошибка частой средней может быть получена по формуле

,

а доверительный интервал может быть задан выражением

,

где t зависит от числа степеней свободы и от принятого уровня значимости α.

Иногда практический интерес может представлять построение доверительного интервала для отдельных наблюдений, например если требуется очертить зону, включающую в себя определенный процент всех эмпирических наблюдений, располагающихся возле линии регрессии. В этом случае может быть использована формула квадратической ошибки отдельного наблюдения

,

а доверительный интервал будет иметь границы

,

где t зависит от числа степеней свободы и от принятого уровня значимости α.. Следует заметить, что границы доверительного интервала для разных значений x будут расширяться в той мере, в какой эти значения будут отличаться от среднего уровня x.