Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ ЗА ТЕМОЮ
ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ
ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»
Одеса ОНПУ 2009
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Затверджено
на засіданні кафедри ІММЗІС
протокол № 3 від 20 жовтня 2009 р.
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ ЗА ТЕМОЮ
«ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ»
ЗА КУРСОМ «МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ»
для студентів спеціальностей 6.040302 — Інформатика, 6.040301 — Прикладна математика
Одеса ОНПУ 2009
Методичні вказівки до практичних занять за темою «Побудова графіків функцій» за курсом «Математичний аналіз» для студентів спеціальностей 6.040302 – Інформатика, 6.040301 – Прикладна математика. / Укл. А.А. Кобозєва. – Одеса: ОНПУ, 2009. – 53 с.
Укладач: А.А. Кобозєва,
д.т.н.,доцент
Потрібно побудувати графік функції
, (1.1)
при цьому основною метою є одержання по можливості найбільш точної характеристики процесу зміни функції: де функція зберігає характер монотонності, де досягає екстремумів, який характер опуклості, як функція поводиться на нескінченності (при необмеженій області визначення), характер точок розриву і т.д.
Спосіб побудови графіка функції «по точках», узятих більш-менш густо, але випадково й без відношення до (невідомих наперед) особливостей графіка, непридатний. Він, насамперед, вимагає обчислення великої кількості координат, що практично незручно. Але головне в іншому: він непридатний принципово, тому що саме через випадковість ординат, що обчислюються, він не забезпечує досягнення поставленої мети: побудови цілісної картини поведінки функції на всій області визначення.
Для досягнення цієї мети необхідно скористатися методами диференційного числення.
Визначення. Будемо казати, що функція монотонно зростає (спадає) на , якщо для таких, що , буде витікати (рис.1(а)) ( (рис.1(б))).
Нехай функція неперервна на і диференційована на , до того ж () на , тоді зростає (спадає) на цьому сегменті.
Таким чином, для того, щоб дослідити функцію на зростання і спадання, визначити проміжки монотонності треба:
а) похідна не існує;
б) .
Ці точки разіб’ють всю область визначення на частки, де зберігає знак, а зберігає характер монотонності. Для зручності й наочності всі ці точки разом з областю визначення має сенс винести на координатну вісь ОХ (рис.2).
Приклад 1. Дослідити на зростання й спадання функцію
.
.
.
Отримаємо два проміжки, на яких похідна зберігає знак, а функція зберігає характер монотонності: .
Приклад 2. Визначити проміжки зростання й спадання функції
.
.
Отже, область визначення функції — .
.
,
тобто . Області визначення поданої функції належать лише точки .
Приклад 3. Визначити проміжки зростання і спадання функції
.
Область визначення функції: . Похідна
на всій області визначення, тому подана функція спадає на і спадає на .
Визначення. Нехай функція визначена на . Кажуть, що має локальний максимум (локальний мінімум) в точці , якщо існує такий окіл точки , що
.
Локальний максимум (минимум) називається строгим, якщо окіл можна обрати так, що
.
Точки локального мінімума і локального максімума функції називаються точками її локального екстремума.
Необхідна умова локального екстремума. Нехай функція визначена на і має локальний екстремум в точці . Тоді обов’язково виконується одна з наступних умов:
1) в точці не існує похідна функції ;
2) .
Таким чином, точки, в яких функція недиференційована, чи її похідна дорівнює 0, є точками, підозрілими на екстремум: в цих точках екстремум може бути, а може не бути. Треба застосовувати для таких підозрілих точок достатні умови екстремума.
Перша достатня умова локального екстремума. Нехай функція визначена на і диференційована на цьому інтервалі скрізь, за винятком, можливо, точки , в якій функція неперервна. Якщо існують такі лівий і правий напівоколи точки , в кожному з яких зберігає знак, то
1) функція має локальний екстремум в точці , якщо похідна має значення різних знаків в відповідних напівоколах, а саме: якщо при проходженні через точку змінює знак з «+» на «-», то — точка локального максімума, якщо знак похідної змінюється з «-» на «+» — локального мінімума;
2) функція не має локального екстремума в точці , якщо похідна справа і зліва від має значення однакових знаків.
Друга достатня умова локального екстремума. Нехай функція визначена на і виконуються умови:
1) ;
2) в точці існує похідна другого порядку ,
тоді має локальний екстремум в точці , а саме: локальний максімум, якщо
,
локальний мінімум, якщо
.
Третя достатня умова локального екстремума. Нехай найменьший порядок похідної функції в точці , яка не дорівнює 0, це , тобто
.
Тоді
1) якщо — парне, то має локальний максімум в точці , якщо
,
чи локальний мінімум, якщо
;
2) якщо — непарне, то екстремума в точці немає.
Найчастіше в наступних прикладах буде використовуватися перша достатня умова локального екстремума. Враховуючи це, дамо покроковий алгоритм знаходження точок екстремума функції.
Для того, щоб знайти точки екстремума функції, треба:
Приклад 4. Знайти екстремуми функції
.
.
Отже, точки, які є підозрілими на екстремум, — це і , які обидві належать області визначення. Вся область визначення розподілилася на 3 частини: , і .
Нехай . Візьмемо довільно значення з цієї області і обчислимо там похідну, наприклад, :
.
Отже, , коли .
Нехай тепер . Перевіримо :
,
тому , коли .
Нехай нарешті . Перевіримо, наприклад, :
,
тому , коли .
Приклад 5. Дослідити на екстремум функцію
.
Таким чином, — точка локального максімума, — точка локального мінімума.
Приклад 6. Дослідити на екстремум функцію
.
Дата публикования: 2015-01-04; Прочитано: 560 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!