Модель Франка

В основу модели кровеносной системы предложенной немецким физиологом О.Франком положено представление о том, что во время систолы левого желудочка крупные сосуды артериальной части кровеносной системы (эластичный резервуар) запасают кровь и выталкивают ее в периферическую систему (артериолы, капилляры) во время диастолы.

Несмотря на достаточную простоту, она позволяет установить связь между ударным объемом крови (объем крови выбрасываемый левым желудочком за одну систолу), гидравлическим сопротивлением периферической части системы кровообращения, эластичностью крупных сосудов и изменением давления в аорте.

В модели Франка сделаны следующие допущения:

1) Все крупные сосуды объединены в один резервуар с эластичными стенками, объем которого пропорционален давлению. Они (а следовательно и резервуар) обладают высокой эластичностью; гидравлическим сопротивлением резервуар пренебрегают.

2) Система микрососудов представлена как жесткая трубка Гидравлическое сопротивление жесткой трубки велико; эластичностью мелких сосудов пренебрегают.

3) Эластичность и сопротивление для каждой группы сосудов постоянны во времени и по пространству.

4) Не рассматриваются переходные процессы установления движения крови.

5) Существует "внешний механизм" закрытия и открытия аортального клапана, определяемый активной деятельностью сердца.

Для удобства рассмотрения модели выделим две фазы кровотока в системе "левый желудочек сердца => крупные сосуды => мелкие со­суды" (рис. 1,2):

1 фаза (систола) - фаза притока крови в аорту из сердца с момента открытия аортального клапана до его закрытия (рис.4, т. 1-2 -3). Во время поступления крови из сердца стенки круп­ных сосудов растягиваются благодаря их эластичности, часть крови резервируется в крупных сосудах, а часть проходит в мелкие сосуды (рис. 2а).

2 фаза (диастола) - фаза изгнания крови из крупных сосудов в мелкие после закрытия аортального клапана (рис. 4, т. 3-1). Во время этой фазы стенки крупных сосудов за счет упругости возвращаются в исходное положение, проталкивая кровь в микрососуды. В это время в левый желудочек поступает кровь и левого предсердия.

1 Фаза. Аортальный клапан открыт, Q_с≠0.

2 Фаза. Аортальный клапан закрыт, Q_с=0.

Рис. 5. Схематическое изображение кровотока в крупных и микрососудах при открытом и закрытом клапане.

Составим систему уравнений.

Скорость изменения объема резервуара dV/dt равняется разности скоростей притока в него крови из сердца Q_c и оттока в систему микрососудов Q:

, (1)

где Q_c(t) - объемная скорость поступления крови из сердца (рис. 16), Q(t) - объемная скорость кровотока в начале мел­ких сосудов, dV - изменение объема крупных сосудов.

Предполагаем, что изменение объема резервуара линейно зависит от изменения давления крови в нем dP:

dV= CdP, (2)

где С - эластичность стенок аорты - коэффициент пропорциональности между давлением и объемом.

С ~ , Е- модуль упругости стенок крупных сосудов.

Применяя закон Пуазейля для стационарного течения крови по жесткой трубке получим, что:

Q(t) = (3)

где P(t) - давление в крупных сосудах (в том числе на входе в мелкие), Р_кон - давление на выходе из жесткой трубки, Х- гидравлическое сопротивление мелких сосудов. Во всех урав­нениях под Р(t) понимается избыточное давление (разность между реальным давлением и атмосферным).

Систему уравнений (1, 2, 3) можно решить относительно P(t), Q(t) или V(t). Решим систему относительно P(t).

С учетом 1, 2, 3 получим уравнение:

(4)

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение, решение которого определяется видом функции Q_c(t).

Решение.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что для произвольной функции Q_c(t) решением данного уравнения является общий интеграл:

где константа К находится исходя из начальных условий.

На рис. 3 представлен график функции P(t), полученный на основе расчетов давления по формуле (5) для аппроксимации Q_c(t) в виде параболы: -

Q_c(t) = -at² + bt, (6)

, ,

где Q_max - максимальное значение кровотока, поступающего из сердца, время t₀ равно половине длительности первой фазы (t₀ = ).

Расчетная зависимость P(t), представленная на рис. 3а близка к наблюдаемой в действительности (рис. 1), Р_кон = 0.

Представленная модель позволяет рассчитать P(t) и для любой аппроксимации реальной функции Q_c(t).

Рис.6Изменение гемодинамических величин. Расчетная зависимость давления крови Р(t) в аорте (а) для параболического Q_с(t) в 1-фазе (б). Параметры: Q_max=500 мл/с, Х=1мм. рт. ст.∙с/мл, С=1,2мл/мм. рт. ст., t_=0,24с; t_=0,56с; Р(t=0)=Р_=80мм. рт. ст., Р__=0.

Наиболее простыми являются решения уравнения для 2 фазы, когда аортальный клапан закрыт, следовательно Q_c= 0.

Тогда система уравнений упрощается:

= –Q (1 ^′ )

(2^′)

Q = (3 ^′ )

Тогда из системы уравнений 1'-3' получим уравнение дляP(t):

= (7)

Принимая во внимание начальные условия, что при t = 0 давление Р = Р₁, то есть давлению в конце 1 фазы (давление Р₁почти равно систолическому Р_с ), получим закон изменения дав­ления в крупных сосудах с момента закрытия аортального клапана:

P(t) = Pc • e- t/X•C

(8)

На рис.7 приведена зависимость спада давления в крупных сосудах после закрытия аортального клапана.

Рис. 7. Зависимость давления крови от времени в крупном сосуде после закры­тия аортального клапана.

В конце 2 фазы (через время t₂ после закрытия аортального клапана) давление крови в крупном сосуде упадет до значение Р₂ (Давление Р₂ почти равно диастолическому Р_д.) после чего откроется аортальный клапан, и снова повторится I фаза.