Предел функции. Для функции выясним, к какому числу приближается значение этой функции, когда значение переменной приближается к числу

Для функции выясним, к какому числу приближается значение этой функции, когда значение переменной приближается к числу . Для слева соответственно имеем значения : , если справа , то значения : .

Видим, что значения функции приближается к . Символически это записывают так , и читается предел функции , когда стремится к трем, равен шести. В общем случае пишут .

В этом примере имеем две последовательности: для одной значения , а для другой значения функции . Используя окрестности точек и , определение предела функции можно сформулировать так.

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое , что при .

Отметим, что в определении предела функции не требуется, чтобы функция была определена в предельной точке, но она должна быть определена в какой-либо окрестности предельной точки, в которую сама предельная точка может не входить.

Предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно , и если при функция имеет предел, то он единственный.

Если и x < а, то пишут или , если и x > а, то или . Соответствующие пределы называются левосторонними и правосторонними пределами функции в точке . Здесь предполагается, что функция определена на некотором промежутке слева от предельной точки или справа.

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех – таких, что , верно неравенство . Обозначается .

С помощью логических символов определения пределов функции можно записать так:

() () (), () ),

() () (), () ).