Применение рядов в приближенных вычислениях

Рассмотрим отдельные примеры.

Пример. Вычислить с точностью до 0,0001 интеграл:

.

Решение: Данный интеграл относится к классу «неберущихся» в элементарных функциях. Для интегрирования воспользуемся разложением
подынтегральной функции в ряд Маклорена, используя известное разложение функции sin x на интервале (см. табл.):

.

Интегрируя данное выражение, получим:

Используем теорему Лейбница. Расчетом получим, что для обеспечения
требуемой точности возможно ограничиться тремя первыми членами
разложения (в этом случае ). Следовательно:

.

Пример. Вычислить численное значение синуса одного радиана с точностью до 0,001.

Решение: Воспользуемся разложением функции sin x в ряд Маклорена
на интервале (см. табл.), полагая x = 1:

.

Этот ряд – знакочередующийся. Поэтому для обеспечения требуемой
степени точности (согласно признаку Лейбница) следует найти член разло-жения по абсолютной величине меньший, чем 0,001. Расчетом убеждаемся,
что это четвертый член разложения: . Отбрасывая его и все последующие,
получим ряд с точностью до 0,001.: