Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей конечное множество значений, называется сумма произведений её значений на их соответствующие вероятности:

Математическое ожидание случайной величины называют также центром распределения. Это название заимствовано из механики и объясняется следующим: если в точках оси находятся соответственно массы , то координата центра тяжести системы материальных точек вычисляется по формуле

.

Поскольку , то .

При большом числе опытов среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины приближается (сходится по вероятности) к её математическому ожиданию.

Рассмотрим дискретную случайную величину , характеризуемую рядом распределения:

			…..
			…..

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых величина принимает определённое значение. Предположим, что значение появилось раз, значение появилось раз, вообще появилось раз. Очевидно,

.

Вычислим среднее арифметическое наблюдаемых значений:

Но - частота события , обозначим эту частоту

Т.е. среднее арифметическое наблюдаемых значений равно сумме произведений всех возможных значений на их частоты.

При увеличении числа опытов частоты будут приближаться (сходится по вероятности) к соответствующим вероятностям. Следовательно, и среднее арифметическое при увеличении числа опытов будет приближаться (сходится по вероятности) к математическому ожиданию.

Если дискретная случайная величина может принимать бесконечное счётное множество значений с вероятностями , то её математическое ожидание определяется равенством

.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определённый интеграл

Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат всей оси , то математическое ожидание определяется интегралом

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин

Это равенство распространяется на независимых случайных величин

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий

Это равенство распространяется на случайных величин

Пример: Изделия испытываются на надёжность. Вероятность выхода из строя за время испытания для каждого изделия равна . Испытания заканчиваются после первого же изделия, не выдержавшего испытание. Найти математическое ожидание числа испытаний.

Если - случайное число испытаний, то ряд распределения случайной величины имеет вид:

				…		…
				…		…

где .

Математическое ожидание выражается суммой ряда:

Легко заметить, что ряд, стоящий в скобках, представляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии

.

Следовательно,

,

откуда