Нормальное распределение. 1) Определить математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.

Пример 1. Нормальное распределение непрерывной случайной величины задано функцией плотности

.

1) Определить математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.

Таблица 7 – Частные виды распределений непрерывных случайных величин

Название распределения	Вид функции плотности	Вид функции распределения	Вероятность попадания в интервал	Числовые характеристики
Нормальное распределение
Показательное распределение
Равномерное распределение

2) Построить схематически график функции плотности.

3) Записать функцию распределения и построить ее график.

Решение. 1) Функция плотности для нормального распределения имеет вид

.

Отсюда видно, что математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение .

2) График функции плотности изображен на рисунке 23.

у

х

а

Рисунок 23

Таблица 8 – Основные точки графика функции

х
(точка максимума)
(точки перегиба)

Тогда график заданной функции изображен на рисунке 24.

у

–14 –8 –5 –2 4 х

Рисунок 24

3) Функция распределения нормального закона имеет вид

.

Тогда для нашего случая

,

график этой функции изображен на рисунке 25.

у

–5 0 х

Рисунок 25

Пример 2. Вес подавляющего числа плодов находится в интервале от 70 до 100 г. Считая вес плодов нормально распределенной случайной величиной, найти:

1) процент плодов, вес которых находится в интервале от 75 до 95 г,

2) величину, которую превзойдет вес 90% плодов.

Решение. 1) Введем непрерывную случайную величину Х – вес плода. Так как Х имеет нормальное распределение, то справедлива формула

.

Сначала найдем параметры а и . Из условия задачи следует, что с большой вероятностью Х находится в интервале от 70 до 100 г. Используя «правило трех сигм», имеем:

Решая систему уравнений, получаем г, г (здесь – средний вес плода).

Эту задачу можно решить, используя формулу вероятности заданного отклонения

,

так как интервал (75; 95) симметричен относительно , а .

.

То есть 95% плодов имеют вес, находящийся в интервале от 75 до 95 г.

2) Обозначим А – величина, которую превзойдет вес 90% плодов. Тогда

(вместо максимального веса плода верхнюю границу изменения Х можно принять равной , так как на результат это практически не влияет).

Это уравнение удобнее представить в виде

.

Учитывая, что функция Лапласа является нечетной, то есть , получаем .

По таблице значений функции Лапласа находим

90% плодов будут иметь вес больше 79 г.

Пример 3. Норма высева семян на 1 гектар 200 кг. Фактический расход семян на 1 га колеблется около этого значения со средним квадратическим отклонением 10 кг.

1) Найти допуск, обеспечивающий нормальный посев на 1 га с гарантией 95%.

2) Определить количество семян, обеспечивающих нормальный посев на площади 40 га с гарантией 95%.

Решение. 1) Введем случайную величину Х (кг) – фактический расход семян на 1 га. Из условия задачи кг (среднее значение или норма), кг. Под допуском понимают величину отклонения фактического значения от нормы. Найдем из условия . Так как справедлива формула , то

По таблице значений функции Лапласа находим

(кг) – искомый допуск.

То есть фактический расход семян с вероятностью 0,95 будет заключен в интервале

2) Введем случайные величины:

– фактический расход семян на первом гектаре;

– фактический расход семян на втором гектаре;

………

– фактический расход семян на сороковом гектаре;

Х – фактический расход семян на 40 гектарах.

Тогда

.

Используем свойства математического ожидания и дисперсии:

,

(кг),

(кг).

,

(кг ²),

(кг ²),

Отсюда (кг).

По условию задачи , здесь , . Аналогично пункту 1, получим

отсюда

(кг).

Таким образом, фактический расход семян, обеспечивающих нормальный посев на площади 40 га с гарантией 95%, будет заключен в интервале