ТЕМА 7. Дискретная случайная величина

Основные определения и формулы:

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате СЭ может принять то или иное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин.

Если множество возможных значений СВ представляет собой последовательность чисел (конечную или бесконечную), то такая СВ называется дискретной (ДСВ).

Случайная величина полностью описывается (с вероятностной точки зрения) заданием своего закона распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями принять эти значения.

Для ДСВ закон распределения можно задавать в различных формах: табличной, графической, аналитической.

Рядом распределения ДСВ называется таблица вида:

Х	х1	х2	…	хк	…
Р	р1	р2	…	рк	…

где х_к – все возможные значения ДСВ Х,

р_к – соответствующие вероятности, т.е. р_к = Р(Х=х_к), к = 1,2,…, причем S р_к = 1.

Многоугольником распределения ДСВ Х называется ломаная линия, звенья которой последовательно соединяют точки (х_к, р_к), нанесенные на координатную плоскость хОр.

Функцией распределения произвольной СВ Х называется функция F(x) действительного переменного х, определяемая равенством:

F(x) = P(X < x).

Для ДСВ функция распределения всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой расположены в точках, соответствующих возможным значениям СВ, и равны вероятностям этих значений. Формально:

К числовым характеристикам ДСВ Х относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратичное отклонение s (Х), коэффициент вариации V(Х), асимметрия А(Х), эксцесс Е(Х), мода М (формулу для вычисления см. в примере 1).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Из ящика, содержащего 8 деталей, среди которых 2 нестандартные, наудачу извлечены 4 детали. Для СВ Х – число нестандартных деталей среди извлеченных – построить ряд распределения, записать функцию распределения, найти числовые характеристики.

Решение:

Нестандартных деталей среди извлеченных по условию задачи может быть 0, 1 и 2. Пользуясь классическим определением, находим вероятности возможных значений:

Проверка: р₀+ р₁+ р₂ = 1.

Ряд распределения имеет вид:

Х
Р	0,21	0,58	0,21

Функция распределения:

Находим числовые характеристики:

Пример 2. Производится стрельба до 1-го попадания, причем вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же и равна 0,8, а выстрелы независимы. Для ДСВ Х – число сделанных выстрелов– найти закон распределения. Рассмотреть два случая: а) боекомплект не ограничен; б) боекомплект состоит из 3 зарядов.

Решение:

Обозначим через А_к событие – попадание в к -ом выстреле, к = 1,2,.. По условию: Р(А_к) = 0,8,

а) в случае неограниченного боекомплекта ДСВ Х может принять любое натуральное значение п, причем:

Это пример аналитической формы закона распределения: P(X=x_n) = G(x_n), где G(x_n) – некоторая функция.

б) в случае ограниченного боекомплекта вероятности р₁ и р₂ совпадают с соответствующими для случая а): р₁ = 0,8, р₂ = 0,2*0,8.

Для р₃ имеем:

р₃ = Р(Х=3) = Р(боекомплект исчерпан) =

Ряд распределения имеет вид:

Х
Р	0,8	0,16	0,04

Пример 3. Число проведенных опытов есть ДСВ Z имеющая распределение Пуассона с параметром l. Каждый опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью q = 1 – p. Найти закон распределения для ДСВ Х – число успешных опытов.

Решение:

Возможные значения СВ Х: 0, 1, 2, …, к, …. Событие {X=k} может осуществиться только с одним их событий H_n = {Z=n}, n ³ k. Значит можно использовать формулу полной вероятности:

Условие на Z означает следующее:

Условную же вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:

Итак, закон распределения СВ Х:

Преобразуем полученный ряд:

Или, окончательно:

т.е. СВ Х имеет распределение Пуассона с параметром lр.

Пример 4. Пусть Х – число появлений события А в серии из п независимых испытаний, причем, вероятность появления А в к -ом испытании равна р_к. найти математическое ожидание и дисперсию СВ Х.

Решение:

Рассмотрим вспомогательные СВ Х_к – число появлений А в к -ом испытании, к = 1.. п (это так называемые индикаторы события А). Каждая такая СВ принимает значение 1 с вероятностью р_к и значение 0 с вероятностью 1 - р_к = q_k. Ее числовые характеристики:

М(Х_к) = 0*q_k + 1*p_k = p_k;

D(X_k) = (0 – p_,k)²q_k + (1 – p_k)²p_k = p_kq_k, kl = 1.. n;

Отметим, что в силу независимости испытаний, эти величины –независимы.

Число Х – появлений события А в к испытаниях есть не что иное, как сумма чисел появлений в каждом испытании, т.е.

Х = Х₁ + Х₂ + … + Х _п.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем:

ТЕМА 8. Непрерывная случайная величина.

Основные определения и формулы:

Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения F(x) непрерывна при любом х и имеет производную F’(x) везде, кроме, может быть, конечного числа точек.

Плотностью распределения НСВ Х называется производная ее функции распределения: f (x) = F’(x).

Свойства плотности НСВ Х:

1. f (x) ³ 0;

2.

3.

4. P(x < X < x+Dx)» f (x)Dx;

5. Если P(a < X < b) = 1, то f (x) = 0 вне [a; b].

Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:

М(Х) =

причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.

Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:

Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).

Решение типовых примеров:

Пример 1. НСВ Х задана плотностью распределения:

f (x) =

Найти: а) параметр к; б) функцию распределения; в) числовые характеристики; г) вероятность Р(|Х – М(х)| < s (х)); д) вероятность того, что в 10 независимых наблюдениях СВ Х ровно 7 раз примет положительные значения.

Решение:

а) Неизвестный параметр плотности обычно находят, используя одно из ее свойств:

б) Связь между плотностью и функцией распределения устанавливается с использованием еще одного свойства плотности:

Для нашей задачи имеем:

Итак, получили:

Значения 0 и 1 для F(x) вытекают из общих ее свойств:

Если СВ Х принимает значения только на промежутке [а; b],то левее а F(x) = 0 и правее b F(x) = 1.

в) находим числовые характеристики:

7) Мода для НСВ – это точка максимума плотности распределения. В нашей задаче такой точки нет, а есть, напротив, точка минимума: х = 0. Такое распределение называют антимодальным.

8) Медиана m формально находится из равенства:

Геометрически медиана – это точка, в которой площадь под плотностью делится пополам. Т.к. наше распределение симметрично относительно х = 0, то медиана m = 0. Кстати, равенство М(х) = 0 также следует из этой симметрии.

д) Каждое из 10 наблюдений СВ Х – это испытание, в котором может появиться событие А = {x > 0}. Вероятность этого события:

Тогда искомая вероятность семи положительных значений в 10 наблюдениях есть:

Пример 2. На окружности радиуса R с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Ее абсцисса – некоторая НСВ Х. Найти М(Х²).

Решение:

Точка выбирается на окружности наудачу, т.е. можно считать, что полярный угол U этой точки есть НСВ, равномерно распределенная на промежутке [0, 2p]. Ее плотность распределения:

Точка имеет полярные координаты (R; U), поэтому ее абсцисса x = R cos(U). Итак, требуется найти М(R² cos²U). Используем следующее свойство математического ожидания: если НСВ U имеет плотность распределения f (x), а g(x) – некоторая функция, то:

В нашем случае имеем: