Степень статически неопределимости. Особенность статически неопределимых систем

Расчёт сооружений на прочность, жёсткость и устойчивость требует определения реакций опорных связей и внутренних усилий в характерных сечениях их элементов. В статически неопределимых системах эту задачу, привлекая только условия равновесия, решить невозможно. Это было показано в сопротивлении материалов, где для расчёта отдельных статически неопределимых стержней, работающих на растяжение–сжатие, кручение, изгиб, использовалась группа соотношений, включающая в себя уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения.

Главной особенностью статически неопределимых систем является наличие лишних связей в их структуре. Лишние связи сооружений можно удалять, не нарушая их геометрической неизменяемости. Например, удалением опорных вертикальных связей В и С неразрезная балка преобразуется в консольный стержень, введением цилиндрических шарниров K и L – в статически определимую двухпролётную составную балку (рис. 14.1,а). Удалив из статически неопределимой фермы стержень 14 или 34, получим два варианта статически определимой шарнирно-стержневой системы с простой структурой (рис. 14.1,б). Статически неопределимая двухшарнирная рама после удаления горизонтальной связи опоры В превращается в ломаный стержень, прикреплённый к диску "земля" шарниром А и вертикальной связьюось которой не проходит через шарнир А. Введением цилиндрического шарнира С эта же рама преобразуется в статически определимую трёхшарнирную раму (рис. 14.1,в).

Особенностью всех лишних связей, удалённых из статически неопределимых систем, показанных слева на рис. 14.1, является то, что реакции в них от внешних воздействий с помощью уравнений статики определить нельзя. Эти связи называются условно необходимыми. Вместе с тем, в составе рассмотренных сооружений имеются связи, усилия в которых определяются из условий равновесия: горизонтальная связь опоры А неразрывной балки (рис. 14.1,а), стержни А2,23, А1, А3 фермы (рис. 14.1,б), вертикальные связи пятовых шарниров А и В рамы (рис. 14.1,в). Такие связи называются абсолютно необходимыми. Их удаление превращает заданное сооружение в геометрически изменяющую или мгновенно изменяемую систему.

Отметим некоторые свойства статически неопределимых систем.

1. Статически неопределимые сооружения обладают большей надёжностью по сравнению со статически определимыми. Действительно, выключение из работы статически неопределимых систем одной или всех лишних условно необходимых связей не нарушает их геометрической неизменяемости. В статически определимых системах удаление только одной связи приводит к образованию механизмов с одной степенью свободы.

2. В статически неопределимых системах от температурных и кинематических воздействий реакции условно необходимых внешних и внутренних связей не равны нулю.

Степень статической неопределимости

Разность между числом неизвестных, необходимых для расчёта заданного сооружения, и числом независимых уравнений равновесия, составленных для решения задачи, называется степенью статической неопределимости сооружения. Другими словами, эта разность определяет количество лишних связей в заданной расчётной схеме сооружения, усилия в которых требуется определить, не прибегая к уравнениям равновесия.

Степень статической неопределимости можно вычислить, преобразуя заданную статически неопределимую систему в статически определимую и параллельно подсчитывая число удалённых связей. Такой подход является наиболее общим, но часто у читателей вызывает определённые трудности. Поэтому в плоских стержневых системах на начальном этапе изучения этой и последующих тем степень статической неопределимости рекомендуется определять по формуле "контуров".

Любой замкнутый плоский стержневой контур содержит три лишних связи, т.е. трижды статически неопределим. В этом можно убедиться, рассматривая определение внутренних усилий в сечении "с" рамы, представляющей собой вместе с диском "земля" замкнутый контур (рис. 14.3,а). Любая отсечённая часть этой рамы имеет шесть неизвестных: рис. 14.3,б – внутренние усилия в сечении "с" M_c, Q_c, N_c и реакции заделки V_A, H_A, M_A; рис. 14.3,в – внутренние усилия в сечениях "с" и "е" M_c, Q_c, N_c, M_е, Q_е, N_е. Равновесие рассматриваемых выше отсечённых частей описывается тремя уравнениями. Таким образом, разность между числом неизвестных, необходимых для описания напряжённо-деформированного состояния рамы, и числом уравнений равновесия равно трём.

Если сооружение состоит из К не накладывающихся друг на друга контуров, то общее число лишних связей в нём равно 3К.

Наличие в одноконтурном сооружении одного простого цилиндрического или поступательного шарнира снижает степень статической неопределимости такого сооружения на единицу, так как любая отсечённая часть контура, включающая в себя сечение, расположенное на бесконечно близком расстоянии от шарнира, будет содержать теперь пять, а не шесть, неизвестных (рис. 14.4).

В общем случае, если К контуров имеют Н простых цилиндрических или поступательных шарниров, то степень статической неопределимости сооружения равна

n_st = 3K – H. (14.1)

Число контуров и простых шарниров зависит от способа представления расчётной схемы сооружения. На рис. 14.5,а,б показано изображение расчётной схемы одной и той же рамы с различным количеством контуров и простых шарниров. Естественно, что степень статической неопределимости рамы не зависит от способа изображения её расчётной схемы. Действительно:

n_st = 3 × 3 – 3 = 6 (рис. 14.5,а),

n_st = 3 × 5 – 9 = 6 (рис. 14.5,б).

Пример 14.2.1. Используя формулу "контуров", вычислить степень статической неопределимости плоских стержневых систем, изображённых на рис. 14.6.

На рис. 14.6,а,б цифрами, объединёнными кружками, пронумерованы замкнутые контуры. Рядом с цилиндрическими шарнирами цифрами помечено количество простых шарниров.

n_st = 3 × 3 – 8 = 1 (рис. 14.6,а),

n_st = 3 × 9 – 24 = 3 (рис. 14.6,б).

Основные понятия о методе сил. Выбор основных систем

Для расчёта статически неопределимых систем используются следующие методы:

1. Метод сил.

2. Метод перемещений.

3. Комбинированный метод расчёта симметричных систем.

4. Смешанный метод.

5. Метод конечных элементов.

6. Приближённые методы (метод последовательных приближений и др.).

Основной системой метода сил (ОСМС) называется система, образованная из заданной расчётной схемы сооружения удалением лишних связей. Если удаляются все лишние связи, то заданное статически неопределимое сооружение преобразуется в статически определимое. В этом случае, вычислив каким-либо способом реакции в лишних связях от заданных воздействий (силовых, температурных, кинематических), мы задачу расчёта статически неопределимого сооружения сведём к известной задаче по определению напряжённо-деформированного состояния в статически определимом сооружении.

Рассмотрим примеры образования основных систем метода сил для статически неопределимых рам (рис. 16.1–16.8). Вычислим сначала степень статической неопределимости этих рам, используя формулу "контуров" (14.1):

рис. 16.1,а – n_st = 3×3 – 6 = 3; рис. 16.5,а – n_st = 3×3 – 7 = 2;

рис. 16.2,а – n_st = 3×3 – 7 = 2; рис. 16.6,а – n_st = 3×3 – 4 = 5;

рис. 16.3,а – n_st = 2×3 – 5 = 1; рис. 16.7,а – n_st = 3×3 – 6 = 3;

рис. 16.4,а – n_st = 4×3 – 8 = 4; рис. 16.8,а – n_st = 2×3 – 3 = 3.

Основные системы метода сил из заданных статически неопределимых рам можно получить различными способами: удалением опорных связей (рис. 16.1,в; рис. 16.2,в; рис. 16.3,б; рис. 16.4,б), введением простых или кратных цилиндрических шарниров (рис. 16,1,б; рис. 16.3,в; рис. 16.4,в; рис. 16.5,б; рис. 16.7,б), введением поступательных шарниров, как правило, в элементы, имеющие по своим концам цилиндрические шарниры (рис. 16,1,б; рис. 16.2,б,в; рис. 16.7,б,в), удалением всех или части внутренних связей в цилиндрических шарнирах (рис. 16.8,б), разрезом по "живому" сечению (рис. 16.6,в) и другими способами, включая различные сочетания вышеперечисленных.

Для заданной расчётной схемы статически неопределимого сооружения существует множество вариантов основных систем метода сил. Для расчёта принимается вариант, удовлетворяющий ряду требований, среди которых обязательным является требование геометрической неизменяемости основной системы метода сил. С этой точки зрения основные системы метода сил, показанные на рис. 16.1,в и рис. 16.2,в не могут быть использованы для расчёта заданных статически неопределимых рам. Основная система метода сил, изображённая на рис. 16.1,в, по своей структуре геометрически изменяема, так как состоит из двух дисков А и В, соединённых между собой тремя параллельными связями ab, cd, ef одинаковой длины. На рис. 16.2,в показан вариант мгновенно изменяемой основной системы метода сил. Действительно, в этом варианте диск А и диск "земля" В соединяются между собой цилиндрическим шарниром К и связью mn, ось которой проходит через шарнир К.

Выполнение некоторых желательных требований при выборе основной системы метода сил способствует сокращению времени на расчёт статически неопределимого сооружения. Это, прежде всего, образование простых по структуре основных систем методом сил, где чётко просматриваются рабочие схемы (главные и второстепенные части), легко определяются реакции опорных связей и внутренние усилия. С этой точки зрения основная система метода сил, показанная на рис. 16.3,б, предпочтительнее, чем другая основная система (рис. 16.3,в) для этой же рамы.

Важно, чтобы в используемой для расчёта основной системе метода сил эпюры внутренних усилий не "растекались" по всем элементам, т.е. были бы локализованы, и имели бы возможно меньшие по абсолютной величине ординаты. Часто выполнению этого условия способствует введение цилиндрических шарниров в узлы статически неопределимых систем (рис. 16.4,в и рис. 16.6,б).

Для симметричных статически неопределимых сооружений основную систему метода сил следует выбирать также симметричной (рис. 16.6,б,в и рис. 16.7,б).