Математический аппарат исследования дискретных сигналов и цифровых фильтров

Дискретные сигналы – результат аналогово-цифрового преобразования непрерывных сигналов как функций времени S(t). Если задан непрерывный сигнал S(t), то после преобразования получим последовательность значений непрерывного сигнала S(tk)=S(k), где tk=kDt, Dt- интервал дискретизации, k=1, 2, …, n. Для описания дискретных сигналов используется решетчатые функции

(1.1.1)

где d(t) - дельта-функция Дирака.

Ее основные свойства характеризуются соотношениями

(1.1.2)

Преобразуем решетчатую функцию по Лапласу и найдем ее изображение

Используя (1.1.2), получим

(1.1.3)

Введем новую комплексную переменную z=exp(pDt). Тогда вместо S(p) как преобразование Лапласа получим преобразование вида

(1.1.4)

Формулу (1.1.4) называют z-преобразованием. Зет-преобразование, как и преобразование Лапласа, используется для анализа и синтеза дискретных сигналов и цифровых фильтров.

Преобразование (1.1.4) обладает замечательным свойством. Зет-преобразование дискретных запаздывающих физически реализуемых сигналов (S(t)=0, t<0)

может быть получено по формуле

(1.1.5)

Дискретные, как и непрерывные, сигналы при формировании, передаче и приеме преобразуются различными электронными устройствами, в частности, цифровыми фильтрами. Рассмотрим математические методы преобразования дискретных сигналов цифровыми фильтрами. Связь между непрерывным входным U(t) и выходным S(t) сигналами устанавливает интеграл свертки (интеграл Дюамеля)

(1.1.6)

где h(t) – импульсная характеристика фильтра, однозначно определяемая его передаточной функцией

(1.1.7)

где S(p) и U(p) – преобразования Лапласа выходного и входного сигналов.

Заменим интеграл (1.1.6) его интегральной суммой

(1.1.8)

Определим зет-преобразование выражения (1.1.8), полагая, что u(t)=0 при t<0

В результате получим

(1.1.9)

где H(i)=Dth(i).

По аналогии с преобразованием непрерывных сигналов фильтрами отношение S(z)/U(z) будем называть дискретной передаточной функцией цифрового фильтра. Тогда

Для непрерывных сигналов соответствующие формулы имеют вид

Определим дискретные передаточные функции цифровых фильтров, аналогами которых являются фильтры непрерывных сигналов 1-го и 2-го порядков с импульсными характеристиками

Для определения дискретной передаточной функции первого фильтра необходимо вычислить сумму

Используя формулу для бесконечной геометрической прогрессии, получим

Аналогично определяется дискретная передаточная функция фильтра 2-го порядка. В результате будем иметь

Фильтр n-го порядка описывается выражением

(1.1.10)

Из (1.1.10) следует зет-преобразование связи выходного сигнала S(k) с входным сигналом U(k)

(1.1.11)

Обратное преобразование позволяет записать формулу для определения сигнала на выходе фильтра

(1.1.12)

Здесь H0 выбрано равным единице.

Фильтры, преобразующие входные сигналы в соответствии с алгоритмом (1.12), называются рекурсивными цифровыми фильтрами.

Если в выражении (1.1.8) h(i)=ai и число суммируемых членов конечно, то связь между входом и выходом запишется в виде

(1.1.13)

Фильтры этого типа называются нерекурсивными.

Формулы (1.1.9), (1.1.11), (1.1.12) и (1.1.13) позволяют решать задачи аналитического исследования процессов преобразования дискретных сигналов рекурсивными и нерекурсивными цифровыми фильтрами.