Достаточное условие дифференцируемости

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в точке , то функция дифференцируема в этой точке. В частности, из непрерывности частных произ - водных следует непрерывность самой функции.

С учётом вышеизложенного, получаем новое выражение для полного дифференциала функции:

(3)

Кроме того, в силу формулы (3),

Следовательно, получаем:

(4)

ПРИМЕР. Найти полный дифференциал функции

Аналогичным образом определяется дифференциал функ- ции 3-ч переменных

Например, для дифференциал равен:

§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть - функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь является функцией независимой пе- ременной , т.е. . Тогда функция является сложной функцией переменной Переменные и при этом называются промежуточными. Тогда выполняется следующая теорема:

ТЕОРЕМА. Если функции дифферен -цируемы в точке , функция дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке и производная этой функции (как функции одной переменной) вычисляется по формуле:

. (1)

Замечание. Следует обратить внимание на то, что если в обозначении производной стоит , то функция зависит от двух и более переменных, если же , то функция зависит только от одной переменной.

ПРИМЕРЫ. 1. Пусть

Тогда, по формуле (1),

(В полученную производную вместо и можем подставить их выражения).

2. Пусть

Тогда . Таким образом,

3. Пусть теперь - функция двух переменных, а - также функции двух перемен - ных. Тогда сложная функция двух переменных и мо -жем найти её частные производные по этим переменным сле- дующим образом:

§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО.

Пусть некоторая функция от определяется уравне - нием Тогда имеет место следующая теорема:

ТЕОРЕМА. Если непрерывная функция от задана уравнением , где - непрерывные функции в некоторой области , причём в этой

области , то функция от имеет производную и выполняется формула

(1)

ПРИМЕР: Тогда, так как левая часть равна , то ,

и

Рассмотрим теперь неявно заданную функцию двух пере -менных . Если считать постоянной, то по фор- муле (1), , если считать постоянной, то . Аналогичным образом определяются частные производные от неявно заданных функций любого числа пере- менных.

ПРИМЕРЫ.

1, .

Левая часть равенства - это . Поэтому

2. Тогда

§ 6. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К

ПОВЕРХНОСТИ.

Пусть поверхность задана уравнением .

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость, которая содер –жит касательные, проведённые в точке к каждой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку .

Нормальный вектор этой плоскости

перпендикулярен к касательной каждой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку . Уравнение касательной плоскости имеет вид:

Определение 2. Нормалью называется прямая, перпендику -лярная к касательной плоскости, проходящая через точку ка –сания. Её уравнение имеет вид:

ПРИМЕРЫ:

1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, проходящей через точку , если по - верхность задана уравнением:

Левая часть этого равенства - это . Тогда:

Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:

или

Уравнение нормали:

2 Написать уравнение касательной плоскости и нормали

к поверхности : в точке

Уравнение поверхности перепишем в виде

.

Тогда

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

, или

Уравнение нормали:

§ 7. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ.

Рассмотрим функцию , определённую в некоторой окрестности точки и произвольный единичный вектор

L

y M

x

O x x+Δx

Для характеристики скорости изменения функции в точке в направлении вектора введем понятие производ- ной по направлению. Для этого через точку проведём пря- мую так чтобы её направление совпадало с направлением ыектора и на направленной прямой выберем точку . Если - длина отрезка , то . При этом функция получает приращение .

Определение 1. Предел отношения при (, если он существует, называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается

Если функция дифференцируема в точке , то её приращение вдоль прямой можно представить в виде:

где - бесконечно малые функции при . Разде –лим обе части последнего равенства на . Тогда, принимая во внимание, что , имеем: и при переходе в этом равенстве при , получаем формулу

(1)

Если же - функция трёх переменной, определён- ная в некоторой окрестности точки , а , где - углы, образованные век- тором с соответствующими осями координат - произвольный единичный вектор в пространстве, определяющий некоторое направление, производная функции или, что то же самое, скалярного поля вычисляется по формуле

(2)

ПРИМЕРЫ

1. Пусть . Найти про - изводную скалярного поля в точке в направлении вектора . Тогда, по формуле (1),

2. Найти в точке производную скалярного поля в направлении вектора

Тогда направляющие ко -синусы вектора :

Следовательно, по формуле (2)

Определение 2. Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным .

Таким образом, (4)

Если вспомним формулу производной по направлению, получим

(5)

Но, по определению скалярного произведения, имеем

. (6)

Здесь - угол между вектором и единичным векто - ром направления . Из равенства (6) следует, что произ -водная функции по направлению имеет наибольшую величину при , т.е. когда направление вектора совпа -дает с направлением .

Замечание: Вектор показывает направление максимального изменения функции, а его длина равна скорости максимального изменения.

Если функция трёх переменных и , то (7)

ПРИМЕРЫ:

1. Пусть . Найти , где .

Тогда,,по формуле (4),

3. Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке

Найдём .

Тогда Его длина равна скорости наибольшего изменения функции

§ 8. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Пусть в некоторой окрестности точки существуют частные производные функции : , которые сами являются функциями двух переменных и Назовём их частными производными 1-го порядка.

Частные производные от этих функций по переменным и , если они существуют, называются частными производными второго порядка и обозначаются следующим образом:

Частные производные называются сме- шанными частными производными. Для них имеет место сле -дующая теореме:

ТЕОРЕМА. Если производные сущест- вуют в некоторой - окрестности точки и непрерыв- ны в самой точке , то они равны между собой, т.е. имеет место равенство: .

Аналогичным образом можно ввести понятия частных про- изводных 3-го и более высоких порядков и частные произ -водные высших порядков для функция трёх и более пере -менных.

Теорема остаётся верной и для производных более высокого порядка. Например и т.д.

ПРИМЕРЫ:

1. Доказать равенство для функции

Таким образом, равенство доказано.

2. Пусть . Проверить, что выполняется равенство:

Как видим, в этом случае равенство также выполняется.

§ 9. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Определение 1. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум, если существует какая окрестность этой точки , что для всех точек выполняется неравенство

(1)

Если, при тех же условиях выполняется противоположное неравенство то говорят, что в точке функция имеет локальный минимум. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Из определения следует, что если функция имеет экстремум в точке , то в окрестности точки полное приращение функции

имеет вполне определённый знак, а именно, в окрест -ности точки максимума и в окрестности точки миниму –ма.

Необходимое условие экстремума.

Если функция имеет экстремум в точке и имеет в некоторой окрестности этой точки частные производные первого порядка, то эти производные обращаются в ноль в точке , т.е.

(2)

Точки, в которых выполняются условия (2), называются

стационарными точками, или точками возможного экстремума.

Другими словами, условия (2) не достаточны для существова -ния экстремума в точке .

Достаточное условие экстремума..

Пусть - стационарная точка, т.е. для неё выполнены условия (2). Пусть, далее в некоторой окрестности этой точки функция имеет частные производные второго порядка, непрерывные в точке Пусть

.

Положим:

. (3)

Если , то функция имеет экстремум в точке , причём, если , то минимум, если - максимум; если , то в точке функция не имеет экст- ремума; если , то признак ответа не лаёт и необходимо дальнейшее исследование.

ПРИМЕРЫ: Найти экстремумы следующих функций:

1. .

Найдём стационарные точки:

Тогда

Решаем второе уравнение: , или

Тогда

Исследуем обе точки на экстремум, пользуясь достаточным условием экстремума. Для этого найдём вторые производные:

Для точки Тогда, по формуле (3), и в этой точке нет экстремума функции.

Для точки Тогда

и в этой точке функция имеет экстремум, причём, так как , то в точке функция имеет минимум и

2.

Ищем стационарные точки:

Тогда - стационарная точка. Исследуем эту точку на экстремум по достаточному признаку: Следовательно, в точке функция имеет экстремум, причём, так как , то максимум.

§ 10. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ.

Пусть функция определена и непрерывна в не- которой замкнутой области на плоскости. Тогда наибольшее и наименьшее значение в этой области функция может прини- мать либо в стационарных точках, попадающих в область, ли -бо на границе области. Правила нахождения наибольшего и наименьшего значения лучше рассмотреть на примерах.

ПРИМЕРЫ. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области .

1.

С 3

-1 0 2 3

-1 К А

Сначала найдём стационарную точку:

Точка не попадает в область . Найдём критические точки на границе области . На участке Тогда

Точка лежит на отрезке границы области . На участке . Тогда

Точка На третьем участке , тогда

Точка .

Таким образом мы нашли три точки, в которых функция мо -жет принять экстремальные значения. Кроме того необходимо ещё учесть угловые точки , . В каждой из этих точек найдём значение функции:

Итак, наибольшее значение функции в области : Наименьшее значение функции в области :

2.

4 С

-3 -2 2 3

-5

Найдём стационарные точки:

Найдём критические точки на границе области Точка

На участке

Кроме того, нужно ещё рассмотреть угловые точки:

Таким образом, самое большое значение функция принимает в точке ; самое маленькое значение - в точке .