Практичне заняття 5. Неперервні випадкові величини

Неперервні випадкові величини

5.1. Функція розподілу

Функцією розподілу F (x) називається ймовірність P(X<x) події,що складається з того, що випадкова величина X набуває значення,меншого, ніж x:

F(x)= P(X<x).

Властивості функції розподілу:

1. Значення функції розподілу належать відрізку [0; 1], тобто 0 ≤ F (x) ≤ 1.

Це випливає з визначення функції розподілу як ймовірності.

2. Функція розподілу неспадна, тобто, якщо , то .

3. Якщо можливі значення випадкової величини X належать проміжку [a; b], то при x ≤ aF (x) = 0, при x>bF (x) = 1.

Наслідок1. Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення на заданому проміжку розподілу:

.

Неперервною будемо називати таку випадкову величину, для якої функція розподілу в будь-якій точці, що відповідає можливому значенню, є неперервною.

Наслідок 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина Х прийме одного певного значення x₀, дорівнює нулю.

Для дискретної випадкової величини функція розподілу визначається за формулою

,

де P_i = P (X = x_i), а нерівність x_i < x під знаком суми означає, що сума поширюється на всі ті значення x_i, які менші від x.

Приклад. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу

Х
Р	0,2	0,5	0,2	0,1

Знайти функцію розподілу F (X).

Розв’язання. Якщо x ≤ 3, то значення інтегральної функції розподілу F (X) = 0. Дійсно, значень, менших від числа 3, дискретна випадкова величина X не набуває. Отже, при x ≤ 3 функція F(X)=P(X<x)=0.

Якщо 3 <x ≤ 5, то функція розподілу F(X)=0,2. Дійсно, випадкова величина Х може набувати у розглянутому проміжку тільки значення 3, причому з ймовірністю 0,2.

Якщо , то значення функції розподілу F(X) = 0,7. Дійсно, випадкова величина X може набувати значення 3 з ймовірністю 0,2 і значення 5 з ймовірністю 0,5. Отже, одного з цих значень, байдуже яке, випадкова величина X може набути (за теоремою складання ймовірностей несумісних подій) з імовірністю 0,2+0,5=0,7.

Якщо 7 <x ≤ 9, то значення функції розподілу F (X) = 0,9. Дійсно, випадкова величина X може набувати значення 3 з ймовірністю 0,2; значення 5 з ймовірністю 0,5; значення 7 з ймовірністю 0,2.

Отже, одне з цих значень, байдуже яке, випадкова величина X може набути (за теоремоюдодавання ймовірностей несумісних подій) з імовірністю 0,2+0,5+0,2=0,9. Якщо Х> 9, то значення функції розподілу F (x) = 1, тоді подія х ≤ 9 достовірна для розглянутої випадкової величини, і ймовірність її дорівнює одиниці.

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини є ступінчастий. Висота сходинки визначається ймовірністю настання значення випадкової величини. Загальна кількість точок розриву дорівнює числу значень дискретної випадкової величини.

Графік функції розподілу неперервної випадкової величини є безперервною лінією.