Основные определения и формулы

Случайным событием называется такое событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого опыта.

Случайные события называют несовместными в данном испытании, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие несовместное с ними.

Вероятностью Р события А называется отношение числа m благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев

(1)

Сумма вероятностей случайных событий B₁, B₂,…B_n,

образующих полную группу, равна единице

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В.

Вероятность того, что произошло событие А при условии,что произошло событие В, будем обозначать P(A/B) и называть условной вероятностью события А при условии В.

Рассмотрим полную группу несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), …, P(B_n). Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Событие А может наступить в каком-либо опыте вместе с одной из гипотез событий В₁, В₂, …, В_n. Вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности

(2)

После опыта (апостериорно) стало известно, что событие А появилось, следует выяснить, вместе с какой из гипотез B₁,…, B_n оно произошло. По постановке задача напоминает диагностику причины по известному следствию.

P(Bi), i=1,…n - априорные (доопытные) вероятности гипотез

P(Bi / A), i=1,…n - апостериорные вероятности гипотез (сформировавшиеся после опыта)

Найдем апостериорные вероятности гипотез P(Bi / A), i=1,…n.

По формуле умножения вероятностей найдем вероятность совмещения событий B и А

P(B_i A)=P(B_i) P(A / B_i)=P(A) P(B_i/A).

Из последнего равенства выразим апостериорную вероятность гипотезы В

(3)

Получили формулы Байеса. Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, т.е. провести коррекцию вероятностей априорных гипотез, используя экспериментальные данные.