Непрерывные функции. Теорема больцано-коши о промежуточном значении функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если

или, что то же,

Определение 2. Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна в каждой его точке.

Замечание 1. В следующей теореме используется принцип Кантора вложенных отрезков: для всякой системы вложенных отрезков (таких, что для каждой пары один содержится в другом) существует общая точка. А если отрезки стягиваются, то такая точка -- единственная.

Теорема 1. (Больцано--Коши) если непрерывна на и на концах принимает значения разных знаков (), то существует точка такая, что .

Доказательство. Для определенности пусть , а . Рассмотрим точку как середину отрезка . Если , то теорема доказана. Если это не так, будем рассматривать тот из двух получившихся отрезков, значения функции на концах которого разных знаков. Поступая аналогично, либо закончим процесс деления на некотором шаге, либо получим стягивающуюся систему вложенных отрезков . Тогда, согласно принципу Кантора, существует единственная общая точка . Покажем, что . Заметим, что , , , . Поскольку , то функция непрерывна в этой точке, следовательно, и . Тогда .

Теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений: если функция f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такая точка , в которой функция достигает своего максимума, найдется такая точка , в которой функция достигает своего минимума.

Доказательство:

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда в силу теоремы 1 она ограничена на этом отрезке. Следовательно, ограничено множество значений функции. Тогда в силу принципа верхней грани это множество обладает точной верхней и точной нижней границами.

Обозначим: и покажем, что и будет наибольшим значением функции f(x) на отрезке [a,b]: .

Предположим противное, то есть .

Так как , то f(x)< .

-f(x)>0

введем в рассмотрение функцию . Функция непрерывна на [a,b], так как -f(x) 0. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, функция ограничена на [a,b].

<M > , где >0

Так как данное неравенство выполняется , то число не является точной верхней гранью множества значений функции. Приходим к противоречию, значит, наше предположение неверно. Аналогично можно доказать, что непрерывная функция достигает на отрезке своего минимального значения. Теорема доказана.