Задание 2. Дифференциальное исчисление

41-50. Не применяя правила Лопиталя, найти пределы функций:

41.	a)	б)
	в)	г)
42.	а)	б)
	в)	г)
43.	а)	б)
	в)	г)
44.	а)	б)
	в)	г)
45.	а)	б)
	в)	г)
46.	а)	б)
	в)	г)
47.	а)	б)
	в)	г)
48.	а)	б)
	в)	г)
49.	а)	б)
	в)	г)
50.	а)	б)
	в)	г)

51-60. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график.

51.		52.
53.		54.
55.		56.
57.		58.
59.		60.

61-70. Найти производные данных функций.

61.	а) ;		б) ;
	в) ;		г) .
62.	а) ;		б) ;
	в) ;		г) .
63.	a) ;		б) ;
	в) ;		г) .
64.	а) ;		б) ;
	в) ;		г) .
65.	а) ;		б) ;
	в) ;		г) .
66.	а) ;		б) ;
	в)		г)
67.	а)		б)
	в)		г)
68.	а)		б)
	в)		г)
69.	а)		б)
	в)		г)
70.	а)		б)
	в)		г)

71-80. Задачи о наибольших или наименьших значениях величин.

71. Из куска проволоки длиной L согнуть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей.

72. Найти радиус основания и высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиуса R.

73. Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2 и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

74. Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.

75. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен . При каких размерах сторон прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

76. Чтобы огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора, имеется кусок проволоки длиной L м. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей?

77. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины ее поперечного сечения на квадрат его высоты. Из круглого бревна, диаметр которого d, вырезают балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

78. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

79. Из данного круга вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить конус с наибольшим объемом.

80. Найти размеры цилиндрической закрытой цистерны с заданным объемом V и с полной наименьшей поверхностью.

81-90. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить графики:

81. 82. ;

83. ; 84.

85. ; 86. ;

87. ; 88. ;

89. ; 90. .

91-100. Найти частные производные функций.

91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.
99.		100.

101-110. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.