Функция Ляпунова, «вторая метода Ляпунова»

Рассмотрим автономную систему и

функцию .

Назовем эту функцию знакоположительной, если ,

знакоотрицательной, если

Назовем функцию положительно определенной, если

1) она знакоположительна,

2)

Назовем функцию отрицательно определенной, если

1) она знакоотрицательна,

2)

Назовем функцию знакоопределенной, если она является отрицательно определенной или положительно определенной.

Введем производную функции в силу системы : . Заметим, что . Поэтому, если , то угол между градиентом V и вектором правых частей системы тупой. Следовательно, убывание функции V соответствует движению по фазовым траекториям внутрь линии уровня =С.

На этом основан метод функций Ляпунова. Этот метод сводится к трем теоремам Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Пусть существует функция (функция Ляпунова), положительно определенная и имеющая знакоотрицательную в некоторой окрестности точки .

Тогда тривиальное решение автономной системы устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Пусть существует функция , положительно определенная и имеющая отрицательно определенную в некоторой окрестности точки .

Тогда тривиальное решение автономной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Пусть . Пусть знакоопределена в некоторой окрестности точки . Если в любой окрестности точки найдутся такие точки, в которых знаки и совпадают, то тривиальное решение автономной системы неустойчиво.

Пример.

Выберем

положительно определена, отрицательно определена. Поэтому тривиальное решение асимптотически устойчиво.

Пример.

Выберем

и положительно определены, поэтому тривиальное решение неустойчиво.