Интегрирование иррациональных функций

Каких-либо общих методов интегрирования для всего класса иррациональных функций неизвестно, да и вряд ли такие методы можно придумать.

Общая идея состоит в том, чтобы придумать рационализирующую подстановку, т. е. найти такую замену переменных, чтобы в новых переменных интеграл был бы интегралом от рациональной функции. А, как показано на прошлой лекции, интегралы от рациональных функций всегда можно взять.

Ниже приводятся некоторые интегралы, для которых известны рационализирующие подстановки.

1. , где R() – рациональная функция аргументов. Рационализирующая подстановка , где .

Пример. - интеграл от рациональной функции, если взять .

2. . Этот интеграл можно представить в виде = , а затем искать коэффициенты полинома n-1 степени и константу, дифференцируя обе части, приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Пример. .

Дифференцируем обе части

.

Приводим к общему знаменателю

. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем . Теперь, выделяя полный квадрат, получаем в правой части разложения «длинный логарифм»:

.

3. В интегралах вида рационализирующая подстановка .

Пример. . Применяем подстановку .

= . Это интеграл, рассмотренный выше в п.2.

4. Дифференциальный бином. , где - рациональные числа. Такие интегралы берутся только в трех случаях (условия П.Л.Чебышева):

а) p – целое (подстановкой , где ),

б) - целое (подстановкой ),

в) - целое (подстановкой ).

Пример. Показать, что в интеграле - целое и равно 2. Показать, что подстановка - рационализирующая.

5. Интегралы вида сводятся к одному из трех типов интегралов:

а) , для которого рационализирующие подстановки ,

б) , с подстановками ,

в) , с подстановками .

Упражнение. Вычислить интегралы .