Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные операции, подобные в некотором отношении операциям над действительными числами в алгебре. Поэтому можно говорить об алгебре множеств.

Объединением (соединением) множеств А и В называется множество (символически оно обозначается через ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. В форме от х объединение множеств записывается так

Запись читается: «объединение А и В» или «А, объединенное с В».

Операции над множествами наглядно изображают графически с помощью кругов Эйлера (иногда используют термин «диаграммы Венна-Эйлера»). Если все элементы множества А будут сосредоточены в пределах круга А, а элементы множества В – в пределах круга В, тооперацию объединения с помощью кругов Эйлера можно представить в следующем виде – рис. 2.1

Рис. 2.1. Объединение множеств А и В

Пример 1. Объединением множества А = {0, 2, 4, 6, 8} четных цифр и множества В = {1, 3, 5, 7, 9} нечетных цифр является множество = ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} всех цифр десятичной системы счисления.

Пример 2. Если A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, то = {1, 2, 3, 4}.

Пример 3. Объединением множеств А = {1} и B = {0, 1} решений квадратных уравнений х ² + 2 х + 1 = 0 и х ² + х = 0 является множество = {0, 1}.

В общем случае в операции объединения может участвовать n множеств А ₁, А ₂, …, А _n. Тогда объединением этих множеств (обозначается через или ), будет множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А ₁, А ₂,..., А_n.

Пример 4. Пусть А ₁ = {3,6,9}, A ₂ = {0,1,5,7}, A ₃= {2,3,4,5,8}, тогда .

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество (обозначается через , иногда А × В или АВ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В.

В форме от х пересечение множеств записывается так

.

Запись читается «пересечение А и В» или «А, пересеченное с В». С помощью кругов Эйлера операцию пересечения двух множеств А и В можно представить так – рис. 2.2 а (затемненная часть кругов)

а б

Рис. 2.2. Пересечение множеств А и В

Если =Æ, то есть если множества А и В не имеют общих элементов, то такие множества называют непересекающимися – рис. 2.2 б.

Аналогично операции объединения в пересечении может участвовать n множеств А ₁, А ₂, …, А _n. Тогда пересечением этих множеств (обозначается через или ), будет множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам А ₁, А ₂,..., А_n.

Пример 5. Пусть А ₁ = {1, 2, 3, 4, 8}, A ₂ = {2, 3, 4, 5, 8}, A ₃= {3, 6, 7,8, 9}, тогда

Разностью множеств А и В называется множество (обозначается А \ В или А – В), состоящее из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В. В «форме от х» разность множеств А и В можно записать так

.

Выражение А \ В читается: «разность А и В» или «А без В».

Разность множеств в отличие от предыдущих операций определяется только для двух множеств.

С помощью кругов Эйлера для множеств А и В разности А \ В и В\А в виде затемненных частей кругов приведены соответственно на рис. 2.3 а, и 2.3 б

а б

Рис. 2.3. Разности множеств А \ В и В\А

Пример 6. Пусть А = {0, 2, 4, 6, 8} – множество всех четных цифр, В = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество всех цифр десятичной системы счисления. Тогда В\А = {1, 3, 5, 7, 9} всех нечетных цифр является разностью множеств В и А.

Пример 7. Пусть A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}, C = {5, 6, 7}. Тогда А \ В = = {2, 4}, А \ С = {1, 2, 3, 4} = A, C \ A = {5, 6, 7} = C, В\С = {1, 3}, C \ В = {6, 7}, В\А = {5}.

Для случая, когда определяют операцию дополнения множества А до множества В.

Дополнением множества А до множества В называется множество, всех тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А. С помощью кругов Эйлера множество-дополнение в затемненном виде представлено на рис. 2.4

Рис. 2.4. Подмножество В\A – дополнение множества А до множества В

Символически операция дополнения записывается также как и операция разности, поэтому в «форме от х»запись дополнения будет иметь вид

.

Если в процессе некоторого рассуждения все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество называют универсальным множеством (или для краткости – универсумом). Рассуждение может быть не только кратким, но и представлять научную теорию или целую книгу. Например, при проведении социологических исследований в качестве универсума могут рассматриваться все города России или все студенты некоторого вуза. В первом случае все рассуждения не могут выходить за рамки всех городов, а во втором – за рамки всех студентов этого вуза.

Для графической иллюстрации отношений между подмножествами какого-либо ограниченного универсального множества U круги Эйлера, отображающие подмножества множества U, ограничивают прямоугольником – рис. 2.5

Рис. 2.5. Универсальное множество U и его подмножества A и B

Ясно, что если в некотором рассуждении универсальное множество будет неограниченным, например множество N или Z,то ограничить его

прямоугольником не представляется возможным.

Если в рассуждениях участвуют универсальное множество U и некоторое подмножество A, то подмножество всех тех элементов множества U, которые не принадлежат подмножеству А, называется абсолютным дополнением подмножества А до множества U. Ясно, что

Тогда приведенное выше определение дополнения множества A до множества B называют относительным.

Кроме приведенных операций над множествами рассматривают еще две – операцию симметрической разности и операцию сложения множеств. Симметрической разностью (обозначается ) называется множество, определяемое следующим образом:

= .

С помощью кругов Эйлера симметрическая разность множества А (левый полный круг)и множества В (правый полный круг)на рис. 2.6 будет представлять затемненную часть

Рис. 2.6. Симметрическая разность множеств А и В

Суммой множеств А и В (обозначается А + В) называется множество, определяемое выражением

А + В = ()\ .

Исходя из приведенной записи для операции сложения, можно сказать, что сумма множеств равна их объединению без пересечения.

Симметрическая разность множеств А и В и их сумма представляют одно и то же множество. Покажем это, используя круги Эйлера.

По определению разность множеств А и В или относительное дополнение А \ В являются подмножеством, изображенным на рис. 2.7 а (на рис. 2.3 а это левая затемненная часть круга Эйлера). Разность множеств В и А или относительное дополнение В\A является подмножеством, изображенным на рис. 2.7 б (на рис. 2.3 б это правая затемненная часть круга Эйлера)

а б

Рис. 2.7. Подмножества А \ В и В\А

Объединяя эти подмножества, мы получаем фигуру, приведенную на рис. 2.6, которая представляет по определению симметрическую разность множеств А и В, т.е. .

С другой стороны, если мы объединим множества А и В, то получим правую фигуру, т.е. , представленную на рис. 2.1. Если из этой фигуры вычтем пересечение этих множеств, т.е. , представленное на рис. 2.2 а, то снова получим фигуру, изображенную на рис. 2.6. Но это и есть объединение множеств А и В без их пересечения, т.е. сумма А + В.

Таким образом, мы доказали с помощью кругов Эйлера, что

= А + В.

Рассмотрим примеры выполнения операций вычитания, дополнения, сложения и симметрической разности для различных случаев задания множеств.

Пример 8. Пусть заданы множества: А = {2, 3}; B = {1, 2, 3, 4, 5}; C = = {1, 2, 3}; D = {3, 4, 5}. Тогда

А \ В = Æ; А \ С = Æ; А \ D = {2}; A \ A = Æ;

B \ A = {1, 4, 5}; B \ C = {4, 5}; B \ D = {1, 2};

C \ A = {1}; C \ B = Æ; C \ D = {1, 2};

D \ A = {4, 5}; D \ B = Æ; D \ C = {4, 5}.

А + В ={1, 2, 3, 4, 5}\{2, 3}={1, 4, 5}; B + A ={1, 2, 3, 4, 5}\{2, 3}={1, 4, 5}.

= Æ {1, 4, 5}= {1, 4, 5}; = {1, 4, 5} Æ ={1, 4, 5}.

A + C = {1, 2, 3}\{2, 3} = {1}; C + A = {1, 2, 3}\{2, 3} = {1}.

= Æ {1}; = {1} Æ = {1}.

A + D = {2, 3, 4, 5}\{3} = {2, 4, 5}; D + A= {2, 3, 4, 5}\{3} = {2, 4, 5}.

= {2} {4, 5} = {2, 4, 5}; = {4, 5} {2} = {2, 4, 5}.

B + C = {1, 2, 3, 4, 5}\{1, 2, 3} = {4, 5}; C + B = {4, 5}.

= {4, 5} Æ = {4, 5}; = {4, 5}.

В + D = {1, 2, 3, 4, 5}\{3, 4, 5} = {1, 2}; D + B = {1, 2}.

= {1, 2} Æ = {1, 2}; = {1, 2}.

C + D = {1, 2, 3, 4, 5}\{3} = {1, 2, 4, 5}; D + C = {1, 2, 4, 5}.

= {1, 2} {4, 5} = {1, 2, 4, 5}; = {1, 2, 4, 5}.

Из приведенных примеров видно, что операции сложения и симметрической разности эквивалентны и обладают свойством коммутативности.