Алгебра событий. Вероятность события

Теоремы сложения и умножения вероятностей.

1.Случайные события.

Определения

· Испытанием (или опытом) называется осуществление некоторой совокупности определённых условий.

· Событием называется любой результат испытания.

· Событие называется случайным (обозначается

прописными латинскими буквами: А, В, С, …, , , …), если в данном испытании оно может или произойти, или не произойти.

· Событие называется достоверным (обозначается Е), если в данном испытании оно обязательно произойдёт.

· Событие называется невозможным (обозначается ), если в данном испытании оно никогда не произойдёт.

· События называются несовместными в данном испытании, если наступление одного из них исключает наступление другого. В противном случае события называются совместными.

· Событие В называется независимым от события А, если наступление события А не влияет на наступление или ненаступление события В. В противном случае события А и В называются зависимыми.

· События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем остальные.

· Говорят, что события , , …,, образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно наступает хотя бы одно из них.

· Говорят, что события , , …,, образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий, если в данном испытании события , , …,, являются равновозможными и любые два из них – несовместные. Такие события будут называться элементарными событиями (или случаями, исходами).

· Элементарное событие (i=1,2 …,n) называется благоприятствующим событию А, если наступление события влечёт за собой наступление события А.

· Событие, обозначаемое , называется противоположным событием по отношению к событию А, если наступление одного из них в результате данного испытания исключает наступление другого.

2. Алгебра событий.

Определения.

· Суммой (или объединением) событий А и В называется такое событие, обозначаемое А+В, которое состоит в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

· Произведением (или совмещением) событий А и В называется такое событие, обозначаемое А∙В, которое состоит в одновременном наступлении и события А, и события В.

Замечание 1. Если события , , …,, образуют полную группу попарно несовместных событий, то справедливы равенства:

+ + … + = Е,

∙ A = (i ≠ j).

Замечание 2. Поскольку события А и образуют полную группу и несовместны, для н их справедливы равенства:

А + = Е,

А ∙ = .

3. Вероятность события

Пусть для данного испытания события , , …,, образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий (являются элементарными событиями).

Определение. Вероятностью случайного события А в данном испытании называется число, обозначаемое Р(А) и вычисляемое по формуле:

Р(А) = , (1)

где n – число всех возможных элементарных событий рассматриваемого испытания, m – число тех элементарных событий из всех возможных, которые благоприятствуют появлению события А.

Замечание 3. Ситуация, когда полную группу составляют равновозможные события, называется классической. Поэтому определение вероятности (1), опирающееся на такое условие, называется классическим определением вероятности.

Замечание 4. Нетрудно видеть, что в формуле (1) числа m, n связаны неравенствами:

0 ≤ m ≤ n.

Поэтому вероятность любого события А удовлетворяет неравенству:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Причём, если А = Е – достоверное событие, то m = n и Р(Е) = 1;

если А = – невозможное событие, то m = 0 и Р() = 0.