Пример 1. Вычислить z1 + z2 и z1z2, где z1 = 1 + 2i и z2 = 2 – i

Вычислить z ₁ + z ₂ и z ₁ z ₂, где z ₁ = 1 + 2 i и z ₂ = 2 – i.

Решение

Имеем Ответ. z 1 + z 2 = 3 + i, z 1 z 2 = 4 + 3 i.

Алгебраическая форма комплексного числа

Обозначения, терминология

где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;

- число, сопряженное числу z = a + bi;

- модуль комплексного числа;
либо , - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);

Arg z - множество аргументов числа z:

Действия над комплексными числами

Если то:

12)Тригонометрическая форма комплексного числа

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

z = a + bi = r (cos φ + i sin φ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.