Скалярное произведение и норма функций

Примеры скалярного произведения для функций одной переменной

Скалярное произведение и норма функций

Обозначим символом множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [ a, b ], т.е. функций, имеющих на промежутке [ a, b ] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.

Скалярным произведением функций называется число

.

Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:

1. .

2. .

3. .

4. ; .

Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.

Функции называются ортогональными на [ a, b ], если .

Нормой функции на промежутке[ a, b ] называется неотрицательное число , квадрат которого равен скалярному произведению функции на себя:

.