Элементы математической статистики. Математическая статистика – это прикладной раздел теории вероятностей, занимающийся обработкой статистических данных

Математическая статистика – это прикладной раздел теории вероятностей, занимающийся обработкой статистических данных, чтобы получить научно- обоснованные выводы.

С помощью статистических методов проводилось расследование по обвинению М.А. Шолохова в плагиате. Компьютерная обработка текстового материала доказала его авторство.

Обычно полученные в результате наблюдений данные представляют собой набор чисел (объектов). Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике такое сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100, то - объем генеральной совокупности, - объем выборки.

Выборку называют повторной, если отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Выборку называют бесповторной, если отобранный объект (перед отбором следующего) не возвращается в генеральную совокупность.

На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. объекты выборки должны правильно представлять генеральную выборку.

Выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно (т.е. все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку).

Этапы обработки выборки.

1) Составление вариационного ряда

Среди всех чисел выборки выбирают различные и располагают их в порядке возрастания , где .

2) Составление дискретной таблицы частот

		…
		…

- число всех измерений,

- это частоты, т.е. число измерений, в которых наблюдалось значение ,

- это относительные частоты.

Причем .

Статическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Замечание: В теории вероятности под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.

Графической иллюстрацией дискретной таблицы является столбиковая диаграмма.

Частоты и относительные частоты пропорциональны, поэтому при построении столбиковой диаграммы по вертикальной оси можно указывать значения либо частот, либо относительных частот.

Если соединить вершины вертикальных отрезков, получится ломанная, которая называется полигоном частот.

Пример: Курс математики прослушало 20 человек. Полученные на экзамене оценки представляют собой следующий набор чисел:

5,3,4,5,4,3,3,5,4,3,5,5,2,3,2,5,3,3,4,3.

Статистическое распределение:

Полигон частот:

Если число различных значений в выборке велико, вычислять частоту каждого из них не имеет смысла. Например, если все значения в выфборке различные,то

		…
		…

Понятно, что такая таблица не добавляет наглядности и информативности.

Поэтому поступают следующим образом: Весь промежуток изменения значений выборки разбивают на интервалы. После этого подсчитывают число значений из выборки, попадающей в каждый интервал. В результате получаем интервальную таблицу.

		…
		…

где n – число всех измерений, m – количество интервалов, - количество чисел, приходящихся на i -ый интервал, - относительная частота.

Интервалы должны быть одинаковыми. Графической иллюстрацией интервальной таблицы частот является гистограмма.

Число интервалов выбирают из соображений наглядности, обычно 2 <m<20.

Пример: Студенты некоторой группы, состоящей из 25 человек, написали контрольную работу. Каждый студент набрал определенное количество баллов:

75,145, 150, 180, 125, 150, 150, 165, 95, 135, 130, 70, 130, 105, 135, 135, 100, 160, 60, 85, 120, 60, 145, 150, 135.

Построить гистограмму частот.

Решение: Минимальное значение = 60, Максимальное – 180. Разобьем на 6 частей.

180-60=120, 120/6=20

Эмпирическая функция распределения (статистическая функция)

Мы знаем, что все важнейшие характеристики случайной величины
(мат.ожидание и т.п.) могут быть получены из распределения. В задачах математической статистики функция распределения (теоретическая) всегда является неизвестной. Замечательно то, что основываясь на выборке, можно построить хорошее приближение для неизвестной функции распределения. Эмпирическую функцию распределения выборки строят так:

,

где - число тех значений выборки, которые меньше x.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различия между и состоит в том, что - вероятность события , а - относительная частота события.

Мы знаем, что . Значит, можно использовать эмпирические функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

У эмп. функции свойства такие же, как у функции :

1) . Т.к. вероятность всегда меньше 1 и больше 0.

2) - неубывающая функция, т.е. , если .

Пример:

xi	2	6	10
ni	12	18	30

Объем выборки n= 12+18+30=60.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

График этой функции