Проверка гипотезы о совпадении значений одноимённых числовых характеристик двух различных случайных величин

При решении этой группы задач статистической проверки гипотез рассматриваются две случайные величины и сравниваются значения их одноимённых числовых характеристик.

Аналогично рассматриваемой двумерной случайной величине рассматривается случайная величина , где - количество слов в предложении, а - количество букв в этом предложении в повести Агаты Кристи «В алфавитном порядке».

По элементам выборки, объём которой так же был равен , вычислены значения точечных оценок математических ожиданий и дисперсий: , и , .

Сначала проверяется гипотеза о равенстве значений дисперсий рассматриваемых случайных величин. Основная гипотеза записывается так: . Или, что одно и то же: . В числителе дроби записывается дисперсия той случайной величины, у которой больше величина точечной оценки. Альтернативная гипотеза имеет вид: . Критерием проверки справедливости основной гипотезы является случайная величина , имеющая распределение вероятностей Фишера - Снедекора (F - распределение). При уровне значимости основной гипотезы по таблицам определяем критическое значение . Наблюдаемое значение критерия будет равно . Так как мы наблюдаем неравенство: , у нас нет оснований отклонять гипотезу , то есть основная гипотеза – принимается.
Аналогично проверяется справедливость гипотезы о равенстве значений дисперсий случайных величин и - количества букв в предложениях двух анализируемых произведений Агаты Кристи. Так как , то . При том же уровне значимости получаем неравенство и, согласно правилу принятия решений, принимаем гипотезу .

При выборе критерия проверки справедливости гипотезы о равенстве значений математических ожиданий случайных величин и (количество слов в предложениях) учитывается результат проверки гипотезы о равенстве значений дисперсий этих случайных величин. Так как была принята гипотеза , то для проверки гипотезы о том, что средние количества слов в предложениях в этих произведениях равны , применяем критерий: , где - оценка среднего квадратического отклонения, получаемая из оценки дисперсии , которая вычисляется по элементам объединённой выборки объёма .

Из таблиц распределения вероятностей Стьюдента (t -распределения) при двусторонней альтернативной гипотезе выписываем (для и при ) критическое значение .

Сначала вычисляем значение оценки дисперсии:

, а затем – наблюдаемое значение критерия: .

Учитывая двусторонность альтернативной гипотезы, сравниваем наблюдаемое и критическое значения критерия. Так как , то у нас нет оснований отклонять основную гипотезу, о том, что средние значения случайных величин и одинаковы, то есть: .

Проверяем справедливость гипотезы о равенстве значений математических ожиданий случайных величин и - количества букв в предложениях изучаемых произведений при уровне значимости . Справедливость основной гипотезы проверяем с помощью того же критерия . При двусторонней альтернативной гипотезе из таблиц выписываем: . Вычисляем оценку среднего квадратического отклонения: , и наблюдаемое значение критерия: . Сравниваем наблюдаемое значение критерия с критическим значением и принимаем решение: «Так как , то у нас нет оснований отклонять основную гипотезу, То есть гипотеза - принимается.

Замечание. В применяемом критерии проверки гипотезы использовалась оценка дисперсии объединённой выборки объёмом 200 элементов. Это можно делать в том случае, когда на двух генеральных совокупностях, из которых делаются выборки, определены случайные величины, имеющие равные дисперсии. Так как мы предварительно проверили и приняли гипотезу о равенстве значений дисперсий, то мы имели право применять критерий , подчиняющийся закону Стьюдента. В том случае, когда у нас нет оснований считать, что дисперсии исследуемых случайных величин равны, используется критерий . Этот критерий, согласно теореме Леви, асимптотически нормален, то есть, при больших объёмах выборок и , для определения критического значения используются таблицы значений функции Лапласа, так как . То есть: .