Решение. Предварительные вычисления представим в таблице, приняв , . Группы предприятий по объему выпуска

Предварительные вычисления представим в таблице, приняв , .

Группы предприятий по объему выпуска, тонн	Число предприятий в % к итогу
1000 - 3000			-4000	-2	-24
3000 - 5000			-2000	-1	-20
5000 - 7000
7000 - 9000
9000 - 11000
					-6

Тогда тонн.

Использование метода моментов для определения средней арифметической величины позволяет значительно упростить громоздкие вычисления. При этом если частоты имеют достаточно большой общий делитель, то целесообразно их сократить на эту величину. В этом случае среднее значение не изменится.

3.3. Структурные средние величины − это величины, значения которых совпадают с определенными значениями изучаемого признака совокупности. К структурным средним величинам относятся мода и медиана.

Мода − это значение признака, наиболее часто встречающегося в изучаемой совокупности.

Для совокупности (дискретного ряда распределения) мода определяется визуально. Для этого просматривается совокупность (дискретный ряд распределения) и то значение признака, которое чаще всего встречается (имеет наибольшую частоту), и будет соответствовать моде.

Для интервального ряда распределения сначала определяется модальный интервал (имеющий наибольшую частоту), а затем рассчитывается значение моды по формуле:

,

где - нижняя граница модального интервала;

- длина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала предшествующего модальному;

- частота интервала следующего за модальным.

В случае если модальным является первый (последний) интервал, то величина принимается равной нулю . Количество мод в совокупности (ряде распределения) может быть несколько.

Медиана − это значение признака, находящегося в середине упорядоченной совокупности.

Для совокупности (дискретного ряда распределения) с нечетным количеством элементов медиане будет соответствовать значение признака, имеющего порядковый номер . Для совокупности (дискретного ряда распределения) с четным количеством элементов медиане будет соответствовать среднее арифметическое двух значений признака, имеющих порядковые номера и .

Для интервального ряда распределения сначала определяется медианный интервал (находящийся в середине ряда распределения), а затем рассчитывается значение медианы по одной из двух формул:

,

,

где , - соответственно нижняя и верхняя границы медианного интервала;

- длина медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- сумма частот всех интервалов ряда распределения;

- сумма частот всех интервалов ряда распределения, предшествующих медианному.

- сумма частот медианного интервала и всех ему предшествующих.

Для определения моды и медианы в ряде распределения с неравными интервалами целесообразно в процедуре расчета вместо частоты (частости) интервала использовать его плотность распределения.

3.4. Вариацией называется изменение значения признака в пределах изучаемой совокупности. Для осуществления вариационного анализа рассчитываются следующие основные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой максимальное значение, на которое изменяется варьирующий признак в совокупности и определяется по формуле:

,

где , - соответственно максимальное и минимальное значения признака.

Среднее линейное отклонение − это среднее арифметическое модуля отклонения каждого значения признака от его средней величины. Определяется:

для совокупности:

;

для ряда распределения:

,

где - количество значений признака (интервалов);

- i-тое значение признака (середины интервала);

- среднее значение признака;

- частота i-го значения признака (интервала).

Дисперсия − это среднее арифметическое квадрата отклонения каждого значения признака от его средней величины. Определяется:

для совокупности:

;

для ряда распределения:

.

Дисперсии присущи следующие математические свойства:

уменьшение или увеличение каждого значения изучаемого признака на одну и туже величину не приводит к изменению дисперсии:

;

уменьшение или увеличение каждого значения изучаемого признака в А раз приводит к изменению дисперсии в А² раз:

или ;

уменьшение или увеличение частоты каждого значения изучаемого признака в одно и тоже число раз не приводит к изменению дисперсии:

;

дисперсия, вычисленная от средней арифметической, всегда меньше дисперсии, вычисленной от любой другой величины, на квадрат разности между средней и этой величиной:

.

Приняв , дисперсию ряда распределения можно рассчитать как разность между средним квадратом значения признака и квадратом среднего значения признака:

,

где - средний квадрат значения признака, рассчитывается:

или ;

- квадрат среднего значения признака.

Для расчета дисперсии часто используется метод моментов (метод отсчета от условного нуля), в основе которого лежат математические свойства дисперсии.

Согласно методу моментов дисперсия рассчитывается по формуле:

,

где - i-тое значение признака или середина i-го интервала;

- значение признака (середина интервала), имеющего наибольшую частоту (условный нуль);

- общий множитель для всех значений признака или их отклонений от условного нуля (для ряда с равными интервалами принимается длина интервала);

- частота i-го значения признака или частное от его сокращения на наибольший общий делитель .

- среднее значение признака, рассчитанное по методу моментов.

Пример 3.6. По данным о выпуске продукции предприятиями отрасли (столбцы 1 и 2 таблицы) определить по методу моментов дисперсию ряда.