Методика выравнивания статистического распределения

Согласно изложенным в п. 1 основным понятиям, при установлении с помощью выборочного метода закона распределения изучаемой случайной величины X и параметров этого распределения, необходимо, прежде всего, составить таблицу статистической совокупности наблюденных значений X в выборке. Следует заметить, что для установления закона распределения случайной величины X стремятся получить достаточно большую выборку, содержащей порядка 50 - 100 и более результатов наблюдений. Далее представляют в табличной форме статистический ряд и строят эмпирическую кривую распределения. С целью удобства обработки статистических данных большой выборки наблюденные значения X разбивают на интервалы. Число таких интервалов должно быть не менее 6-7 при n = 50-100 и не менее 9—15 при n > 100. Величина интервала должна быть больше величины деления шкалы измерительного инструмента, которым производился обмер величины X в выборке, для того чтобы можно было этим компенсировать погрешности измерения.

После установления величины и числа интервалов производится подсчет частот по каждому интервалу, составляется таблица распределения, вычерчивается статическая кривая распределения (полигон) или гистограмма распределения. По внешнему виду эмпирической кривой распределения и физической сущности исследуемой случайной величины определяют, каким теоретическим законом распределения наилучшим образом может быть описано имеющееся статистическое распределение. Вычисляют статистические характеристики предполагаемого закона распределения.

Пример 1. С целью определения закона распределения погрешности обработки из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики D = 20_-0,2мм взята выборка объемом n = 100 шт. Ролики были измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01мм. Результаты измерений сведены в табл. 5 в виде значений отклонения от номинального размера диаметра роликов в мм.

Согласно приведенным данным, наибольшее наблюденное значение x _max = – 0,01, наименьшее х_min = – 0,14. Размах варьирования (широта распределения) составляет x _max – х_min = – 0,01 – (– 0,14) = 0,13 мм.

Задаваясь числом интервалов, равным 7, определим цену интервала l = 0,13/7» 0,02. Полученная величина интервала в два раза больше цены деления шкалы измерительного инструмента, что вполне приемлемо. Составим таблицу 6 эмпирического распределения отклонения от номинального размера диаметра роликов, в которой два первых столбца содержат граничные значения интервалов от х_min до х_min + l, от х_min + l до х_min + 2 l и т. д. В каждый интервал включаем размеры, лежащие в пределах от наименьшего значения интервала включительно до наибольшего значения интервала, исключая его.

Таблица 5

Отклонения от номинального размера диаметра роликов в мм.

(простая статистическая совокупность)

-0,07	-0,03	-0,04	-0,08	-0,03	-0,08	-0,09	-0,10	-0,10	-0,10
-0,13	-0,08	-0,06	-0,04	-0,04	-0,03	-0,04	-0,07	-0,11	-0,12
-0,03	-0,07	-0,08	-0,11	-0,05	-0,05	-0,07	-0,03	-0,09	-0,10
-0,11	-0,14	-0,13	-0,08	-0,12	-0,07	-0,09	-0,10	-0,11	-0,08
-0,05	-0,12	-0,07	-0,06	-0,08	-0,11	-0,10	-0,12	-0,03	-0,10
-0,08	-0,05	-0,11	-0,07	-0,05	-0,08	-0,09	-0,09	-0,09	-0,02
-0,06	-0,12	-0,05	-0,07	-0,11	-0,05	-0,08	-0,03	-0,11	-0,09
-0,11	-0,06	-0,07	-0,06	-0,06	-0,12	-0,10	-0,08	-0,09	-0,01
-0,05	-0,07	-0,06	-0,05	-0,08	-0,09	-0,04	-0,09	-0,08	-0,09
-0,07	-0,06	-0,06	-0,12	-0,05	-0,03	-0,10	-0,09	-0,09	-0,08

Таблица 6

Эмпирическое распределение х

(статистический ряд)

Интервалы х	Середина интервала	Частота f	Частость
от	до
-0,14	-0,12	-0,13		0,03
-0,12	-0,10	-0,11		0,16
-0,10	-0,08	-0,09		0,22
-0,08	-0,06	-0,07		0,25
-0,06	-0,04	-0,05		0,19
-0,04	-0,02	-0,03		0,13
-0,02	-0,00	-0,01		0,02

По значениям табл. 6 статистического ряда отобразим эмпирическую кривую распределения (рис. 1). Визуальный анализ эмпирической кривой распределения позволяет предположить, что теоретическое распределение отклонения от номинального размера диаметра роликов может быть описано законом нормального распределения.

Аналитическое выражение нормального закона имеет вид:

, (9)

где – средняя и дисперсия случайной величины x генеральной совокупности, из которой была произведена исследуемая выборка.

Вычислим статистические характеристики распределения и s по формулам:

Примем параметры нормального закона равными статистическим характеристикам выборки, т. е.:

Следовательно, выражение нормального закона, выравнивающего статистическое распределение примет вид:

. (10)

где l - цена единичного интервала размаха распределения величины x.

Проверка гипотезы о законе распределения случайной величины включает в себя выполнение следующих процедур:

1. Вычисление теоретических значений частот , используя дифференциальную функцию предполагаемого закона распределения, параметры которого принимают равными статистическим параметрам выборки.

2. Построение по значениям статистических и теоретических частот графиков соответствующих распределений. Визуальная оценка близости эмпирического распределения к предполагаемому теоретическому закону.

3. Вычисление критерия согласия, оценивающего степень согласованности теоретического и статистического распределений.

4. Сопоставление расчетного значения критерия согласия с его табличным, называемым критическим значением. Принятие решения о достоверности гипотезы о законе распределения исследуемой случайной величины или отбрасывании ее, как противоречивой опытным данным.