Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходящее числовое значение, но и оценить его точность и надежность. (Особенно при малом числе наблюдений). Точечная оценка в значительной мере является случайной, и приближенная замена а на может привести к серьезным ошибкам.
Для определения точности оценки пользуются доверительными интервалами, а для определения надежности – доверительными вероятностями.
Пусть для параметра а получена из опыта несмещенная оценка . Требуется оценить возможную при этом ошибку. Зададим некоторую вероятность β и найдем значение , для которого справедливо равенство:
, (*)
т.е. , следовательно, неизвестное значение параметра а с вероятностью β попадет в интервал
, (11)
точнее, что случайный интервал накроет точку .
Определение 28. Интервал называется доверительным интервалом. Вероятность β называется доверительной вероятностью или надежностью.
Задача. Построить доверительный интервал , соответствующий доверительной вероятности β для математического ожидания m величины Х.
Решение. Воспользуемся тем, что величина представляет собой сумму n независимых одинаково распределенных случайных величин Xi, и, согласно центральной предельной теореме при достаточно большом n ее закон распределения близок к нормальному. То есть будем исходить из того, что величина распределена по нормальному закону. Характеристики этого закона – математическое ожидание и дисперсия, равные соответственно m и . Найдем величину , для которой справедливо равенство (*):
, отсюда Ф -1 .
(рассматривается функция Лапласа вида ).
Дисперсия D, через которую выражена величина , в точности не известна. В качестве ее ориентировочного значения можно воспользоваться оценкой .
Вывод: доверительный интервал для математического ожидания приближенно равен:
, (12)
где Ф -1 , . (13)
для функции Лапласа вида .
Замечание 1. На практике полезно свойство: если Ф -1(β) = х, то Ф (х) =β.
Замечание 2. а) Для функции Лапласа вида значение Ф -1 .
б) Для функции Лапласа вида значение Ф -1 .
Если удастся получить ориентировочное значение , равное , то, аналогично тому, как был построен доверительный интервал для математического ожидания, можно построить доверительный интервал для дисперсии: , где Ф -1 (рассматривается функция Лапласа вида ).
Пример. В примере 3 пункта 5построить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β = 0,86.
Дата публикования: 2015-01-09; Прочитано: 230 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!