Показатели вариации. Для оценки вариации в статистике применяют следующую систему показателей

Для оценки вариации в статистике применяют следующую систему показателей.

Абсолютные показатели:

1) размах вариации (R);

2) среднее линейное отклонение (ē);

3) дисперсия (σ²);

4) среднее квадратическое отклонение – СКО (σ).

Относительные показатели:

1) коэффициент осцилляции (V_R);

2) коэффициент вариации (V_δ).

1. Размах вариации — это различие между крайними значениями признака

R = X_max-X_min

Недостатки:

1) не учитывает повторяемость значения признака;

2) если крайние значения являются аномальными, то размах не дает истинной картины вариации значений.

2. Среднее линейное отклонение — среднее абсолютное отклонение, используется при анализе ритмичности производства, равномерности поставок товаров, изучении состава работников и т. д.

3. Общепринятым показателем вариации является дисперсия.

Дисперсия — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от своей средней. Она не имеет единиц измерения.

Простая дисперсия:

Взвешенная дисперсия:

4. Среднеквадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии (СКО), оно характеризует средний разброс индивидуальных значений вокруг своей средней.

СКО имеет те же единицы измерения, что и признак.

5. Коэффициент осцилляции — он характеризует максимальную степень разброса индивидуальных значений вокруг средней.

V_R = R / x_ср. •100%

6. Коэффициент вариации — он характеризует среднюю степень разброса индивидуальных значений вокруг средней.

V_δ = σ / x_ср. •100%

Относительные показатели (V_R, V_δ) используются для сравнения вариаций по различным совокупностям или по одной совокупности за разное время. V_δ используется также для характеристики однородности совокупности по данному признаку.

V_δ < 33%- совокупность однородная

V_δ ≥ 33%- совокупность неоднородная

3. Свойства σ ² и σ, формулы их расчета.

Свойства:

1) Дисперсия и СКО σ ² и σ – постоянной величины = 0.

2) Если все значения признака (x_i) уменьшить или увеличить на число а, то дисперсия и СКО σ ² и σ не изменятся.

3) Если все значения признака (x_i) умножить или разделить на число k, то σ ² изменится в k² раз, а σ – в k раз.

Упрощенная формула расчета дисперсии и СКО:

Используя свойства дисперсии и СКО, можно найти дисперсию признака в интервальных рядах распределения методом моментов:

1) находим середины интервалов x_i;

2)
преобразуем данные

где А – середина интервала с наибольшей частотой,

k – ширина интервала;

3)
определяем среднюю для преобразованных данных по формуле (1).

4) определяем начальную дисперсию по преобразованной формуле и свойству 3.

Для нормального закона распределения для показателей вариации существует взаимосвязь.

R ≈ 6 · σ σ = 1,25· l

Правило трех сигм для нормального закона распределения показывает, что в интервал (x – 3 σ, x + 3 σ) попадает 99,7% всех индивидуальных значений x_i.