Изучение взаимосвязей

Корреляционная связь – связь (зависимость) случайных величин (признаков), при которой изменению среднего значения одной (x) соответствует изменение среднего значения другой (y) случайной величины.

Показатели тесноты связи между признаками называют коэффициентами корреляции. Их выбор зависит от шкалы измерения признака (качественного или количественного):

1. Номинальные шкалы (коэффициенты ассоциации и контингенции; коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова) – шкалы наименований (смысловых и кодовых), предназначены для описания принадлежности объектов к определенным социальным группам, поэтому числа в наименованиях имеют два отношения: = и ≠.

Для анализа связи между альтернативными признаками, рассчитывают:

Коэффициент ассоциации Д.Юла: где a, b, c, d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков x и y. Предельное значение k_a = 0,5.

Коэффициент контингенции: Наличие связи между качественными признаками принимается, если k_k ≥ 0,3.

Если признаки имеют несколько возможных значений, то используют коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.

2. Порядковые (ординальные) шкалы (коэффициент Спирмена; коэффициент Кенделла) – применяются для измерения упорядоченности объектов по одному или нескольким признакам. Отношения между признаками: >, <, =.

Ранг – порядковый номер наблюдения в упорядоченной совокупности.

Коэффициент корреляции Спирмена:

где A_k – ранг k-го наблюдения по показателю x; B_k – ранг k-го наблюдения по показателю y; n – число пар наблюдений.

Коэффициент корреляции Кенделла:

где S –сумма баллов, если баллом +1 оценивается пара рангов, имеющих по обоим показателям одинаковый порядок, а баллом -1 – пара рангов с разным порядком.

3. Количественная шкала (линейный коэффициент корреляции; корреляционное отношение) – используется для описания количественных показателей.

Формула расчета коэффициента парной корреляции:

Качественная оценка тесноты связи величин x и y может быть выявлена на основе шкалы Чеддока:

Теснота связи	Значение коэффициента корреляции
Прямой связи	Обратной связи
Слабая	От 0,1 до 0,3	От -0,3 до -0,1
Умеренная	От 0,3 до 0,5	От -0,5 до -0,3
Заметная	От 0,5 до 0,7	От -0,7 до -0,5
Высокая	От 0,7 до 0,9	От -0,9 до -0,7
Весьма высокая	От 0,9 до 0,99	От -0,9 до -0,99

Квадрат коэффициента корреляции называется линейным коэффициентом детерминации. Очевидно, что: .

Уравнение однофакторной (парной) линейной регрессии:

Параметры линейного уравнения парной регрессии находятся методом наименьших квадратов с помощью системы нормальных уравнений:

Построенные статистические модели необходимо проверять на адекватность, т.е. соответствие фактическим статистическим данным.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (в условии числа наблюдений меньше 30) осуществляют с помощью t- критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t- критерия:и

Для параметра a0:

Для параметра a1:

где n – объем выборки, среднеквадратические отклонения остатков и x:

, .

Вычисленные t-критерии сравнивают с критическими t по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числом степеней свободы вариации .[4] В социально-экономических исследованиях уровень значимости α принимают равным 0,05. Параметр считается значимым, если t_расч>t_табл. В таком случае практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

Степень обусловленности вариации y регрессией, показывает коэффициент детерминации[5]:

.

Для измерения тесноты корреляционной зависимости между x и теоретическими значениями можно измерить с помощью теоретического корреляционного отношения [6] :

где - среднеквадратическое отклонение выровненных (теоретических) на основании уравнения регрессии значений результативного признака, - среднеквадратическое отклонение эмпирических (фактических) значений результативного признака:

; .

Теоретическое корреляционное отношение применяется при линейных и криволинейных зависимостях.