Алгоритм многофакторного корреляционно-регрессионного анализа связи показателей

Экономические явления и процессы хозяйственной деятельности предприятий зависят от большого количества факторов. Как правило, каждый фактор в отдельности не определяет изучаемое явление во всей полноте. Только комплекс факторов в их взаимосвязи может дать более или менее полное представление о характере изучаемого явления.

На практике значительно чаще встречаются многомерные зависимости, то есть такие, в которых результирующий параметр зависит от многих факторов, и зависимости между ними нелинейные.

Например, увеличение фондовооруженности труда рабочих дает разный прирост производительности труда на разных предприятиях даже при очень выровненных прочих условиях. Это объясняется тем, что все факторы, от которых зависит производительность труда, действуют в комплексе, взаимосвязано. В зависимости от того, насколько оптимально сочетаются разные факторы, будет неодинаковой степень воздействия каждого из них на величину результативного показателя.

Применение многофакторного корреляционного анализа позволяет изучить закономерности изменения результативного показателя в зависимости от поведения разных факторов.

Многофакторный корреляционный анализ состоит из нескольких этапов.

На первом этапе определяются факторы, которые оказывают воздействие на изучаемый показатель, и отбираются наиболее существенные для корреляционного анализа.

На втором этапе собирается и оценивается исходная информация, необходимая для корреляционного анализа.

На третьем этапе изучается характер и моделируется связь между факторами и результативным показателем, то есть подбирается и обосновывается математическое уравнение, которое наиболее точно выражает сущность исследуемой зависимости.

На четвертом этапе проводится расчет основных показателей связи корреляционного анализа.

На пятом этапе дается статистическая оценка результатов корреляционного анализа и практическое их применение.

На этапе I при отборе факторов учитываются следующие условия:

учитывается причинно-следственная связь между показателями;

выбираются самые значимые факторы, которые оказывают решающее воздействие на результативный показатель;

все факторы должны быть количественно измеримы, то есть иметь единицу измерения;

связь между результативным показателем и факторами не должна быть функциональной.

Например, для многофакторной корреляционной модели уровня рентабельности (у) подобраны следующие факторы, которые оказывают наиболее существенное влияние на ее уровень:

х₁ – материалоотдача, руб.;

х₂ – фондоотдача, коп.;

х₃ – производительность труда (среднегодовая выработка продукции на одного работника), млн. руб.;

х₄ – продолжительность оборота оборотных средств предприятия, дни;

х₅ – удельный вес продукции высшей категории качества, %.

Так как корреляционная связь со всей полнотой проявляется только в массе наблюдений, то объем выборки данных должен быть большим.

Следующим этапом (II) анализа является сбор и статистическая оценка исходной информации. Эта информация должна быть проверена на достоверность, однородность и соответствие закону нормального распределения.

Критерием однородности информации служит среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации, которые рассчитываются по каждому факторному и результативному показателю.

Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение индивидуальных значений от среднеарифметического и определяется:

Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения отдельных значений от среднеарифметической:

.

Если вариация более 33%, то информация неоднородна и необходимо исключить нетипичные наблюдения, то есть уменьшить объем выборки данных.

При проверке соответствия исходной информации закону нормального распределения учитывается условие: основная масса исследуемых сведений по каждому показателю должна быть сгруппирована около ее среднего значения, а объекты с малыми или очень большими значениями должны встречаться реже.

После отбора факторов и оценки исходной информации важной задачей в корреляционном анализе является моделирование связи между факторным и результативными показателями (этап III), то есть подбор соответствующего уравнения, которое наилучшим образом описывает изучаемые зависимости.

Если связь всех факторных показателей с результативным носит прямолинейный характер, то для записи этих зависимостей можно использовать линейную функцию:

.

Если связь между результативным и факторными показателями носит криволинейный характер, то может быть использована степенная функция:

или логарифмическая:

Приведенные модели выгодны тем, что их параметрам () можно дать экономическое объяснение. В линейной модели коэффициенты показывают, на сколько единиц изменяется результативный показатель и изменением факторного на единицу в абсолютном выражении, в степенных и логарифмических – в процентах.

В случаях, когда трудно обосновать форму зависимости, решение задачи можно провести по разным моделям и сравнить полученные результаты.

Решение задачи многофакторного корреляционного анализа проводится на ПЭВМ по типовым программам (например, используя табличный процессор Ехсеl, статистические функции; пакет STATGRAPHICS).

Сначала формируется матрица исходных данных (таблица 4.7), в первой колонке которой записывается порядковый номер наблюдения, во второй – результативный показатель (у), а в следующих – факторные показатели (х_i).

Таблица 4.7

Номер наблюдения	Фактор	Результирующий показатель
x1	x2	...	xn	y
1	x11	x12	…	x1n	y1
2	x21	x22	…	x2n	y2
…	…	…	…	…	…
m	xm1	xm2	…	xmn	yn

Эти сведения вводятся в ПЭВМ (Microsoft Excel) и рассчитываются матрицы парных и частных коэффициентов корреляции, уравнение множественной регрессии, а также показатели, с помощью которых оценивается надежность коэффициентов корреляции и уравнения связи: критерий Стъюдента, критерий Фишера, средняя ошибка аппроксимации, множественные коэффициенты корреляции и детерминации.

Коэффициенты парной корреляции характеризуют тесноту связи между двумя показателями в общем виде с учетом взаимосвязей факторов, оказывающих воздействие на результативный показатель.

Чтобы получить количественную характеристику связи между результативным и факторными показателями в чистом виде, то есть без учета влияния других факторов, рассчитываются частные коэффициенты корреляции.

При определении коэффициентов корреляции необходимо учитывать, что в корреляционной модели факторы должны быть независимы друг от друга. Если в матрице коэффициент корреляции двух факторов выше 0,85, то один из них необходимо исключить из модели.

Значимость коэффициентов корреляции проверяется по критерию Стъюдента:

,

где – коэффициент корреляции;

– среднеквадратическая ошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:

,

где – количество наблюдений.

Табличные значения находят по таблице критериев Стъюдента. При этом учитываются количество степеней свободы () и уровень доверительной вероятности.

Если расчетное значение выше табличного, то связь между результативным и факторными показателями является надежной, а величина коэффициента корреляции – значимой.

Следующий этап (этап IV) корреляционного анализа – расчет уравнения связи (регрессии).

Решение проводится обычно шаговым способом. Сначала в расчет принимается один фактор, который оказывает наиболее значимое влияние на результативный показатель, потом второй, третий и т.д. И на каждом шаге рассчитывается уравнение связи, множественный коэффициент корреляции R и детерминации D, критерий Фишера F, ошибка аппроксимации ε и другие показатели, с помощью которых оценивается надежность уравнения связи. Величина их на каждом шаге сравнивается с предыдущей.

Критерий Фишера (F - отношение) рассчитывается следующим образом:

где – индивидуальные значения результативного показателя, рассчитанные по уравнению; – среднее значение результативного показателя, рассчитанное по уравнению; – фактические индивидуальные значения результативного показателя; m – количество параметров в уравнении связи, учитывая свободный член уравнения; n – количество наблюдений.

Фактическая величина F сравнивается с табличной. Она должна быть больше.

Средняя ошибка аппроксимации определяется по формуле:

.

Величина средней ошибки аппроксимации тем меньше, чем меньше отклонение теоретической линии регрессии (рассчитанной по уравнению) от фактической.

Чем выше величина коэффициентов множественной корреляции, детерминации и критерия Фишера и чем ниже величина стандартной ошибки, тем точнее уравнение связи описывает зависимости между исследуемыми показателями. Если добавление следующих факторов не улучшает оценочных показателей связи, то надо их отбросить, то есть остановиться на том уравнении, где эти показатели наиболее оптимальны.

Полученное в результате корреляционно-регрессионного анализа уравнение можно использовать для практических целей:

для оценки результатов хозяйственной деятельности;

для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя;

для подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя;

для планирования и прогнозирования его величины.

При планировании и прогнозировании уровня результативного показателя необходимо в полученное уравнение связи подставить плановый (прогнозный) уровень факторных показателей.

Таким образом, многофакторный корреляционный анализ имеет важную практическую значимость. Он позволяет изучить закономерности изменения результативного показателя в зависимости от поведения разных факторов, определить их влияние на величину результативного показателя, установить, какие из них являются основными, а какие второстепенными. Этим достигается более объективная оценка деятельности предприятия, более точное и полное определение внутрихозяйственных резервов и планового уровня показателей.

Пример решения задачи многофакторного анализа с использованием статистических функций в Microsoft Excel приведен в методическом пособии для лабораторной работы: Оценка параметров моделей, эконометрия, статистика: Метод. указания/Сост. К.А. Куликов; СГАУ, Самара, 1998 – 11 с.

Задание для студентов.

Выполнить корреляционно-регрессионный анализ для зависимости между фактором х и результативным признаком у на основе исходных статистических данных:

Задача I. х – качество товара в баллах, у – розничная цена в рублях.

Вариант I	Вариант II	Вариант III
х	у	х	у	х	у

Задача II. х – затраты на рекламу, руб; у – объем продаж, руб.