Метод локальных максимумов

1.1. Функция объема исторического текста

Пусть обнаружен какой‑то исторический текст X, например ранее неизвестная летопись, описывающая некие неизвестные нам ранее события на довольно значительном интервале времени, от какого‑то года А до года В. Причем годы эти могут быть записаны в неизвестном нам летосчислении. В дальнейшем будем обозначать этот интервал времени через (А, В). Типичная ситуация такова: даты событий, описываемых в летописи, отсчитываются от какого‑то события местного значения. Например, от основания какого‑то города или от момента воцарения того или иного правителя и т. п. В таких случаях будем говорить, что датировка событий дана в летописи в относительной хронологии. Этот термин позволит нам отличать подобные датировки от абсолютных дат событий в терминах годов до н. э. или годов н. э. Возникает естественный вопрос – как восстановить абсолютные даты событий, описанных в древнем документе?

Например, как вычислить юлианскую дату основания города, от которой отсчитываются даты интересующих нас событий?

Конечно, если некоторые из описанных событий уже известны нам по другим, уже датированным летописям, это позволяет "привязать" события к современной шкале отсчета времени. Но если такое отождествление не удается, то задача датировки усложняется. При этом может оказаться, что описываемые в найденной летописи события нам уже фактически известны. Однако их описание пока по внешности неузнаваемо, поскольку летопись написана на другом языке, летописец употребляет совсем другие имена, прозвища, географические названия и т. п. Поэтому полезно располагать методикой эмпири‑ко‑статистического характера, которая иногда позволяет датировать события на основании формальных количественных характеристик исследуемого текста.

Предположим, что исторический текст X разбивается на куски, фрагменты X(t), каждый из которых описывает сравнительно малый по длине промежуток времени, например год (или десятилетие) с номером t. Примеры таких текстов многочисленны. Таковы погодные летописи – то есть описывающие события год за годом, "по годам". Таковы дневники, многие исторические произведения, учебники и монографии по истории. Куски, фрагменты X{t) мы будем условно называть "главами". Они естественно выстраиваются в хронологическую последовательность, согласно внутренней относительной хронологии данной летописи. Во многих исторических текстах подобное "разбиение на главы" – каждая из которых описывает свой отдельный год – присутствует в явном виде. Таковы, например, многие русские летописи, в том числе знаменитая Радзивиловская летопись (Повесть Временных лет). Такова, например, известная книга Liber Pontificalis ("Книга Понтифексов" – список жизнеописания Римских Пап средних веков) – это труд Т. Моммзена "Gestorum Pontificum Romanorum" (1898).

Разнообразные характеристики объема информации, сообщаемой летописью Хо годе с номером t, могут быть измерены, например, так:

1) vol X(t) = количество страниц в "главе" X(t). Это число назовем объемом "главы" X{t). Объем может равняться нулю, если год t вообще не описан в летописи X, то есть пропущен. Вместо количества страниц можно, конечно, подсчитывать число строк, число знаков и т. п. Это не влияет на идею и на применение методики.

2) Количество упоминаний года t во всей летописи X.

3) Количество имен всех исторических персонажей, упомянутых в "главе" X(f).

4) Количество упоминаний какого‑то конкретного имени (персонажа) в "главе" X(t).

5) Количество ссылок в "главе" X(t) на некоторый другой текст.

Запас подобных количественных характеристик достаточно велик и весьма важен. Каждая характеристика, как мы видим, приписывает каждому году t, описанному в летописи, определенное число. Разным годам будут отвечать, вообще говоря, разные числа. Поэтому объемы "глав" X(t) будут, вообще говоря, меняться с изменением номера (года) t. Последовательность объемов vol X(A),… volX(B) мы назовем функцией объема данного погодного текста X.

1.2. Принцип корреляции максимумов

Итак, пусть некоторый исторический период от года А до года В в истории одного государства t описан в какой‑то достаточно обширной погодной летописи X. То есть летопись X уже разбита, или может быть разбита, на куски – "главы" X(t), каждый из которых описывает один свой год t. Подсчитаем объем каждого такого куска, например: число слов или число знаков, страниц и т. п. Затем изобразим полученные числа в виде графика, отложив по горизонтали годы t, а по вертикали – объемы "глав", то есть vol X(t) (рис. 5.1). В результате мы изобразили функцию объема данной летописи X в виде графика.

Для другой погодной летописи Y, то есть тоже описывающей "поток событий" этой же эпохи (А, В) по годам, ее соответствующий график функции объема будет иметь, вообще говоря, другой вид, (рис. 5.1). Дело в том, что большую роль в распределении объемов играют личные интересы летописцев X и Y. Например, хроника X по истории искусств и военная летопись Y существенно по‑разному расставляют акценты и по‑разному распределяют объем информации по годам. Вот, например, летописец X "проигравшей стороны" описывает поражение своей армии в войне весьма скупо и сдержанно, лишь в нескольких строчках. Напротив, летописец Y "победившей стороны" рассказывает об этом же сражении очень подробно, восторженно и многословно, на нескольких страницах.

Рис. 5.1

Насколько существенны эти различия? То есть существуют ли такие характеристики графиков объема, которые определяются только иНТервалом времени (А, В), историей государства Г и которые однозначно характеризуют все или почти все летописи, описывающие этот временной интервал и данное государство?

Оказывается, важной характеристикой графика объема vol ДО являются годы t, в которые график делает всплеск, то есть достигает своих локальных максимумов. То обстоятельство, что в некоторой точке t график делает всплески, означает, что этот год описан в летописи более подробно. Например, большим количеством страниц, чем соседние годы. Следовательно, всплески графика, то есть его локальные максимумы, указывают нам годы, подробно описанные летописцем на отрезке времени (А, В). В разных летописях Xvt Y "подробно описанными" могут оказаться, вообще говоря, разные годы.

Чем объясняется такая неравномерность в описании разных годов? Одно из объяснений таково. Летописец более подробно описал данный "древний год", поскольку от этого "древнего года" до него дошло больше уцелевшей информации. Например, больший объем старых документов, чем от соседних лет.

Схема дальнейших наших рассуждений такова.

1. Мы сформулируем теоретическую модель, то есть статистическую гипотезу, позволяющую предсказывать – какие именно годы изинтервала времени (А, В) будут подробно описаны позднейшим летописцем, уже не являющимся современником описываемых им древних событий.

2. Затем мы математически формализуем эту статистическую модель, гипотезу.

3. Проверим ее справедливость на достаточно большом достоверном историческом материале XVI‑XX веков.

4. Обнаружив, что теоретическая модель подтверждается в эксперименте, мы предложим методику датирования древних событий.

Рис. 5.2

Пусть C(t) – объем всех текстов, написанных о годе t современниками этого года (рис. 5.2). Как и выше, построим числовой график объема на интервале времени (А, В). Конечно, точный вид этого графика С(t) сегодня нам неизвестен. Дело в том, что с течением времени первичные тексты, написанные современниками событий года t, постепенно утрачиваются. До наших дней дошла лишь какая‑то их часть. График C(t) можно назвать графиком первичного фонда информации. Пусть из эпохи (А, В) современники наиболее подробно описали некоторые годы, то есть зафиксировали об этих годах особенно много информации. Причины такой "первичной неравномерности" мы здесь обсуждать не будем, так как они для нас сейчас не важны. На языке графика объема C(t) такие "подробно описанные современниками" годы будут выделяться тем, что именно в эти годы график объема делает всплески.

Спрашивается, каков механизм потери и забывания письменной информации, приводящий с течением времени к уменьшению высоты графика C(t) и к его искажению? Сформулируем модель потери информации.

Хотя с течением времени высота графика C(t) уменьшается, тем не менее от тех лет, в которые их современниками было написано особенно много текстов, – больше и останется.

Для переформулировки этой модели полезно поступить следующим образом. Фиксируем какой‑то момент времени М справа от точки В на рис. 5.2, и построим график Cм(t), показывающий объем текстов, которые "дожили" до момента времени М и описывают события года t из исторической эпохи (А, В).

Другими словами, число Cм(t) указывает объем первичных древних текстов от года t, сохранившихся до "момента наблюдения фонда" в год М. График Cм(t) можно условно назвать графиком "остаточного фонда информации", сохранившегося от эпохи (А, В) до года М. Теперь наша модель может быть переформулирована таким образом.

График объема остаточного фонда Cм(t) должен иметь всплески примерно в те же годы на интервале времени (А, В), что и исходный график первичного фонда информации C(t).

Разумеется, проверить модель в таком ее виде трудно, поскольку график C(t) первоначального фонда информации сегодня нам точно неизвестен. Но одно из следствий теоретической модели (гипотезы) проверить все‑таки можно.

Поскольку более поздние летописцы Х и Y, описывая один и тот же исторический период (А, В) и один и тот же "поток событий", уже не являются современниками этих древних событий, то они вынуждены опираться приблизительно на один и тот же набор дошедших до них текстов. Следовательно, они должны "в среднем" более подробно описать именно те годы, от которых сохранилось больше текстов, и менее подробно – годы, о которых сохранилось мало информации. Другими словами, летописцы должны увеличивать подробность изложения при описании тех лет, от которых до них дошло больше старых текстов.

На языке графиков объема эта модель выглядит так. Если летописец X живет в эпоху М, то он будет опираться на остаточный фонд.

Если другой летописец Y живет в эпоху N, отличную, вообще говоря, от эпохи М, то он опирается на сохранившийся фонд информации CN(f). (См. рис. 5.3.)

Естественно ожидать, что "в среднем" летописцы X и Y работают более или менее добросовестно, а потому они должны более подробно описать те годы из древней (для них) эпохи (А, В), от которых до них дошло больше информации, больше старых текстов.

Другими словами, график объемов vol X(t) будет иметь всплески примерно в те же годы, где делает всплески график CM(t). В свою очередь, график vol Y(t) будет иметь всплески примерно в те же годы, где делает всплески график C(t) (рис. 5.3).

Но точки всплесков графика остаточного фонда CJ^t) близки к точкам всплесков исходного, первичного графика C(t). Аналогично и точки всплесков графика остаточного фонда C^t) близки к точкам всплесков первичного графика C(t). Следовательно, графики объемов летописей Хи Y – то есть графики vol X(t) и vol Y(f) – должны делать всплески примерно одновременно, "в одних и тех же" точках на оси времени. Другими словами, точки их локальных максимумов должны заметно коррелировать (рис. 5.1).

При этом, конечно, амплитуды графиков vol X(t) и vol Y(t) могут быть существенно различны (рис. 5.4). Что, очевидно, не влияет на изложенные соображения.

Окончательно принцип корреляции максимумов формулируется так. Предыдущие рассуждения могут сейчас рассматриваться лишь как наводящие соображения.

Принцип корреляции максимумов:

1. Если две летописи (текста) X и Yзаведомо зависимы – то есть описывают один и тот же "поток событий" исторического периода (А, В) одного и того же государства t, – то графики объемов летописей X и Y должны одновременно достигать локальных максимумов (делать всплески) на отрезке (А, В). Другими словами, годы, "подробно описанные в летописи X", и годы, "подробно описанные в летописи Y", должны быть близки или совпадать (рис. 5.4).

2. Напротив, если летописи X и Y заведомо независимы, то есть описывают либо разные исторические периоды (А, В) и (С, D), либо разные "потоки событий" в разных государствах, то графики объемов для летописей Х и Y достигают локальных максимумов в разных точках. Другими словами, точки всплесков графиков vol X(t) и vol Y(t) не должны коррелировать (рис. 5.5). При этом считается, конечно, что для сравнения двух графиков мы должны предварительно совместить отрезки (А, В) и (С, D) одинаковой длины.

Все другие пары текстов – то есть не являющиеся ни заведомо зависимыми, ни заведомо независимыми – мы условно назовем нейтральными. Относительно них никакого утверждения не делается.

Этот принцип подтвердится, если для большинства пар реальных, достаточно больших зависимых летописей X и Y, то есть описывающих один и тот же "поток событий", графики объема для Хк К действительно делают всплески приблизительно одновременно, в одни и те же годы. При этом величина этих всплесков может быть существенно различной.

Напротив, для реальных независимых хроник какая‑либо корреляция точек всплесков должна отсутствовать. Конечно, для конкретных зависимых хроник одновременность всплесков графиков объема может иметь место лишь приблизительно. "Одновременность" всплесков оценивается при помощи числового коэффициента р(Х, Y), описанного в ХРОН1.

1.3. Экспериментальная проверка принципа корреляции максимумов

В 1978– 1985 годах нами был проведен первый обширный вычислительный эксперимент по подсчету чисел р(Х, Y) для нескольких десятков пар конкретных исторических текстов ‑хроник, летописей и т. п.

Оказалось, что коэффициент р(Х, Y) достаточно хорошо различает заведомо зависимые и заведомо независимые пары исторических текстов. Было обнаружено, что для всех исследованных нами пар реальных летописей X, Y, описывающих заведомо разные события (разные исторические эпохи или разные государства) – то есть для НЕЗАВИСИМЫХ текстов, – число р(Х, Y) колеблется от 1 до 1/100 при количестве локальных максимумов от 10 до 15. Напротив, если исторические летописи X и Y ЗАВЕДОМО ЗАВИСИМЫ, то есть описывают одни и те же события, то числор(Х, Y) не превосходит 108 для того же количества максимумов.

Таким образом, между значениями коэффициента для зависимых и независимых текстов обнаруживается разрыв примерно на 5‑6 порядков. Подчеркнем, что здесь важны не абсолютные величины получающихся коэффициентов, а тот факт, что "зона коэффициентов для заведомо зависимых текстов" отделена несколькими порядками от "зоны коэффициентов для заведомо независимых текстов". Приведем типичные примеры. Точные значения функций объемов для особо интересных летописей мы приводим в ХРОН1.

На рис. 5.6‑5.8 показаны графики объемов двух заведомо зависимых исторических текстов.

А именно, в качестве текста X мы взяли историческую монографию современного автора В. С. Сергеева "Очерки по истории древнего Рима", тома 1‑2, М., 1938, ОГИЗ.

В качестве текста Y мы взяли "античный" источник, а именно "Римскую историю" Тита Ливия, тома 1‑6, М., 1897‑1899.

Рис. 5.6

Рис. 5.7

Согласно скалигеровской хронологии, эти тексты описывают события на интервале якобы 757‑287 годы до н. э. Итак, здесь A = 757 год до н. э., В= 287 год до н. э. Оба текста описывают одну и ту же историческую эпоху, примерно одни и те же события. Наглядно видно, что графики объемов делают свои основные всплески практически одновременно. Для количественного сравнения функций следует предварительно сгладить "мелкую зыбь", то есть вторичные всплески, накладывающиеся на основные, первичные колебания графиков. При вычислении коэффициента р(Х, Y) мы сгладили, усреднили эти графики, чтобы выделить лишь их основные локальные максимумы в количестве, не превышающем пятнадцати. Оказалось, что здесь р(Х, Y) = 210‑12. Малая величина коэффициента указывает на зависимость сравниваемых текстов. В данном случае это неудивительно. Как мы уже отмечали, оба текста описывают один и тот же период в истории "античного" Рима. Малое значение коэффициента р(Х, Y) показывает, что если рассматривать наблюдаемую близость точек всплесков обоих графиков как случайное событие, то его вероятность чрезвычайно мила. Как мы видим, современный автор В. С. Сергеев достаточно аккуратно воспроизвел в своей книге "античный" оригинал. Конечно, он дополнил его своими соображениями и комментариями, но, как выясняется, они не влияют на характер зависимости этих текстов.

Теперь в качестве "летописи" X' возьмем снова книгу В. С. Сергеева, а в качестве "летописи" Y' – ее же, но заменив порядок лет в тексте на противоположный. То есть, грубо говоря, прочитав книгу Сергеева "задом наперед". Оказывается, в этом случае р(Х' Y) будет равняться 1/3. Таким образом, получается значение, существенно более близкое к единице, чем предыдущее, и указывающее на независимость сравниваемых текстов. Что и неудивительно, так как проведенная нами операция "перевертывания летописи" очевидно дает два заведомо независимых текста.

Еще пример.

Возьмем следующие заведомо зависимые исторические тексты, две русские летописи: X – Никифоровская летопись, Y – Супрасльская летопись.

В обеих летописях описан следующий интервал времени: якобы 850‑1256 годы н. э.

Графики их объемов приведены на рис. 5.9. Оба графика объемов "глав" на интервале якобы 850‑1256 годы н. э. имеют 31 всплеск и делают эти всплески практически одновременно, в одни и те же годы. Подсчет дает, что здесь р(Х, Y) = 10‑24. Это значение весьма мало, что подтверждает зависимость этих текстов.

Рассмотрим еще две русские летописи: X – Холмогорская летопись, Y – Повесть Временных лет.

Рис. 5.9

Рис. 5.10

Следующий интервал времени описан в обеих летописях: якобы 850‑1000 годы н. э. Графики объемов летописей также достигают локальных максимумов практически одновременно. И снова это не случайно, а закономерно, иначе реализовался бы единственный шанс из 1015 шансов. Здесь р(Х, Y) = 10‑15. На указанном временном интервале эти две летописи зависимы. На рис. 5.10 представлены сразу три графика объемов: для Супрасльской летописи, для Никифоровской летописи и для Повести Временных лет.

Последняя летопись "богаче", поэтому ее график имеет больше локальных максимумов и зависимость не столь очевидна. Тем не менее после сглаживания выясняется, что между этими тремя графиками также имеется ярко выраженная зависимость.

Выше мы использовали такую числовую характеристику "главы", как ее объем. Однако, как показали наши исследования, аналогичные статистические закономерности для достаточно больших исторических текстов обнаруживаются и при использовании других числовых характеристик. Например, можно рассматривать количество имен в каждой "главе", количество ссылок на другие летописи и т. п.

В нашем вычислительном эксперименте сравнивались:

а) древние тексты с древними,

б) древние с современными,

в) современные с современными.

Как мы уже сказали, наряду с графиками объемов "глав" исследовались и другие количественные характеристики текстов. Например, графики числа упомянутых имен, графики числа упоминаний данного года в тексте, графики частот ссылок на какой‑либо другой фиксированный текст и т. п.

Оказалось, что для всех этих характеристик выполняется тот же принцип корреляции максимумов. А именно, графики зависимых текстов делают всплески практически одновременно, а для независимых текстов точки всплесков графиков никак не коррелируют.

Сформулируем еще одно следствие из нашей основной модели, статистической гипотезы.

А именно, если два исторических текста заведомо зависимы, то есть описывают один и тот же "поток событий" на одном и том же интервале времени в истории одного и того же государства, то для любой пары указанных выше числовых характеристик соответствующие им графики делают всплески приблизительно в одни и те же годы. Другими словами, если какой‑то год в обеих летописях описан подробнее, чем соседние годы, то увеличится (локально) число упоминаний этого года в обеих летописях, увеличится количество имен персонажей, упомянутых в этом году в обеих летописях, и т. п. Напротив, если тексты заведомо зависимы, то никакой корреляции между указанными числовыми характеристиками быть не должно.

1.4. Метод датирования исторических событий

Поскольку наша теоретическая модель подтвердилась на экспериментальном материале, мы можем теперь предложить новую методику датирования древних событий. Хотя она, конечно, не универсальна. Опишем идею метода.

Пусть Y – исторический текст, описывающий неизвестный нам "поток событий" с утраченными абсолютными датировками. Пусть годы t отсчитываются в тексте от какого‑то события местного значения, например от основания какого‑то города или от момента воцарения какого‑то царя, абсолютные датировки которых нам неизвестны. Подсчитаем для текста Y его график объема "глав" и сравним его с графиками объема других текстов, для которых абсолютная датировка событий, описанных в них, нам известна. Если среди этих текстов обнаружится текст X, для которого число р(Х, Y) мало – то есть имеет такой же порядок, как и для пар зависимых текстов (не превосходит, например, числа 10"8 для соответствующего количества локальных максимумов), – то можно с достаточно большой вероятностью сделать вывод о совпадении или близости описываемых в этих текстах "потоков событий". Причем эта вероятность тем больше, чем меньше число р(Х, Y).

При этом оба сравниваемых текста могут быть внешне совершенно несхожи. Например, они могут быть двумя вариантами одной и той же летописи, но написанными в разных странах, разными летописцами, на разных языках.

Эта методика датирования была экспериментально проверена на текстах XVI‑XX веков с заранее известной датировкой. Полученные даты совпали с этими датировками.