Логические связки

Широко употребительных логических связок пять. Это отрицание (изображается знаком), конъюнкция (знак?), дизъюнкция (знак?), импликация (знак?) и эквивалентность (знак?).

Высказывание A (читается «не A») означает, что высказывание A ложно. Иначе говоря, A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.

Высказывание A? B (читается «A и B») означает утверждение, что верно и A, и B. Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B.

Высказывание A? B («A или B») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B.

Высказывание A? B читается «A влечет B» или «если A, то B». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.

Наконец, высказывание A? B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание A? B означает «A неверно, а B верно», а высказывание (A? B) — «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A? B? C понимается как A? (B? C), но не как (A? B)? C. Это соответствует тому, что в алгебре a + b? c означает a + (b? c), но не (a + b)? c.

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла»? «цапля сохла»? «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0»? «Z < 1», a соотношение | Z | > 1 — дизъюнкция «Z > 1»? «Z < -1». Определение логической связки? данное выше, можно записать так:

[(A? B)? (A? B)? (A? B)]? [(A? B)? (A? B)? (A? B)]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен»? «Лампочка не горит»? «Нет электричества»? «Перегорели пробки»? «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.